《理論》〈電気回路〉[R4下:問7]抵抗温度係数からの抵抗値の変化率の導出に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆(やや難しい)

\( \ 20 \ \mathrm {℃} \ \)における抵抗値が\( \ R_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \),抵抗温度係数が\( \ \alpha _{1} \ \mathrm {[℃^{-1}]} \ \)の抵抗器\( \ \mathrm {A} \ \)と\( \ 20 \ \mathrm {℃} \ \)における抵抗値が\( \ R_{2} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \),抵抗温度係数が\( \ \alpha _{2}=0 \ \mathrm {℃^{-1}} \ \)の抵抗器\( \ \mathrm {B} \ \)が並列に接続されている。その\( \ 20 \ \mathrm {℃} \ \)と\( \ 21 \ \mathrm {℃} \ \)における並列抵抗値をそれぞれ\( \ r_{20} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \),\( \ r_{21} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)とし,\( \ \displaystyle \frac {r_{21}-r_{20}}{r_{20}} \ \)を変化率とする。この変化率として,正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

 (1) \( \ \displaystyle \frac {\alpha _{1}R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}+{\alpha _{1}}^{2}R_{1}} \ \)   (2) \( \ \displaystyle \frac {\alpha _{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}+\alpha _{1}R_{1}} \ \)

 (3) \( \ \displaystyle \frac {\alpha _{1}R_{1}}{R_{1}+R_{2}+\alpha _{1}R_{1}} \ \ \ \)   (4) \( \ \displaystyle \frac {\alpha _{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}+\alpha _{1}R_{2}} \ \)

 (5) \( \ \displaystyle \frac {\alpha _{1}R_{1}}{R_{1}+R_{2}+\alpha _{1}R_{2}} \ \)

【ワンポイント解説】

与えられている抵抗温度係数から抵抗値の変化率を求める問題です。
問題の難易度としては高い問題ですが,比較的新しい平成23年問5に全く同じ問題が出題されているので,受験生の正答率は幾分高かったかもしれません。
過去問演習は非常に有効な勉強法となりますので,ぜひ古い年度の物も取り入れて勉強するようにして下さい。

1.合成抵抗
抵抗\( \ R_{1} \ \)と\( \ R_{2} \ \)が与えられている時,それぞれの合成抵抗\( \ R \ \)は以下の式で与えられます。

①直列
直列合成抵抗\( \ R \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
R&=&R_{1}+R_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

②並列
並列合成抵抗\( \ R \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {1}{R}&=&\frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,整理すると,
\[
\begin{eqnarray}
R&=&\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.抵抗温度係数
基準温度\( \ t_{1} \ \mathrm {[℃]} \ \)における抵抗値が\( \ R_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \),抵抗温度係数が\( \ \alpha \ \mathrm {[℃^{-1}]} \ \)の抵抗器があるとき,温度\( \ t_{2} \ \mathrm {[℃]} \ \)における抵抗値\( \ R_{2} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
R_{2}&=&R_{1}\left\{ 1+\alpha \left( t_{2}-t_{1}\right) \right\} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。

【解答】

解答:(2)
温度が\( \ 20 \ \mathrm {[℃]} \ \)のときの並列抵抗値\( \ r_{20} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は,ワンポイント解説「1.合成抵抗」より,
\[
\begin{eqnarray}
r_{20}&=&\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] である。\( \ R_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の抵抗が\( \ 21 \ \mathrm {[℃]} \ \)になったときの抵抗値\( \ R_{1}^{\prime } \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は,ワンポイント解説「2.抵抗温度係数」より,
\[
\begin{eqnarray}
R_{1}^{\prime }&=&R_{1}\left\{ 1+\alpha _{1}\left( 21-20\right) \right\} \\[ 5pt ] &=&R_{1}\left( 1+\alpha _{1}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから,温度が\( \ 21 \ \mathrm {[℃]} \ \)のときの並列抵抗値\( \ r_{21} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
r_{21}&=&\frac {R_{1}^{\prime }R_{2}}{R_{1}^{\prime }+R_{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {R_{1}R_{2}\left( 1+\alpha _{1}\right) }{R_{1}\left( 1+\alpha _{1}\right) +R_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。したがって,変化率\( \ \displaystyle \frac {r_{21}-r_{20}}{r_{20}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {r_{21}-r_{20}}{r_{20}}&=&\frac {\displaystyle \frac {R_{1}R_{2}\left( 1+\alpha _{1}\right) }{R_{1}\left( 1+\alpha _{1}\right) +R_{2}}-\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}{\displaystyle \frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}} \\[ 5pt ] &=&\left\{ \frac {R_{1}R_{2}\left( 1+\alpha _{1}\right) }{R_{1}\left( 1+\alpha _{1}\right) +R_{2}}-\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\right\} \times \frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\left( R_{1}+R_{2}\right) \left( 1+\alpha _{1}\right) }{R_{1}+\alpha _{1}R_{1} +R_{2}}-1 \\[ 5pt ] &=&\frac { R_{1}+R_{2}+\alpha _{1}R_{1}+\alpha _{1}R_{2}}{R_{1}+\alpha _{1}R_{1} +R_{2}}-\frac { R_{1}+\alpha _{1}R_{1} +R_{2}}{R_{1}+\alpha _{1}R_{1} +R_{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\alpha _{1}R_{2}}{R_{1}+\alpha _{1}R_{1} +R_{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\alpha _{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}+\alpha _{1}R_{1} } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。