《理論》〈電磁気〉[R07下:問2]電荷に加わる力からの未知の電荷量の導出に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

図のように，真空中の\( \ 3 \ \mathrm {m} \ \)離れた\( \ 2 \ \)点\( \ \mathrm {A} \ \)，\( \ \mathrm {B} \ \)にそれぞれ\( \ 3 \times 10^{-7} \ \mathrm {C} \ \)の正の点電荷がある。\( \ \mathrm {A} \ \)点と\( \ \mathrm {B} \ \)点とを結ぶ線分上の\( \ \mathrm {A} \ \)点から\( \ 1 \ \mathrm {m} \ \)離れた\( \ \mathrm {P} \ \)点に\( \ Q \ \mathrm {[C]} \ \)の正の点電荷を置いたとき，その点電荷に\( \ \mathrm {B} \ \)点の方向に\( \ 5 \times 10^{-3} \ \mathrm {N} \ \)の力が働いた。この点電荷\( \ Q \ \)の値\( \ \mathrm {[C]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

ただし，真空中の誘電率を\( \ \varepsilon _{0}=8.85\times 10^{-12} \ \mathrm {F / m} \ \)とする。

　(1)　\( \ 1.2\times 10^{-9} \ \)　　(2)　\( \ 1.8\times 10^{-8} \ \)　　(3)　\( \ 2.5\times 10^{-6} \ \)　
　(4)　\( \ 4.4\times 10^{-5} \ \)　　(5)　\( \ 7.3\times 10^{-5} \ \)

【ワンポイント解説】

真空中の電荷に加わる力から未知の電荷の電荷量を求める問題です。
クーロンの法則のみを使用する問題なので，確実に正答しておきたい問題となります。
本問は平成14年問2の数値を変えた問題です。

1.クーロンの法則
真空中で距離\( \ r \ \mathrm {[m]} \ \)離れた二つの電荷\( \ Q_{\mathrm {A}} \ \mathrm {[C]} \ \)，\( \ Q_{\mathrm {B}} \ \mathrm {[C]} \ \)に加わる力\( \ F \ \mathrm {[N]} \ \)は，真空の誘電率を\( \ \varepsilon _{0} \ \mathrm {[F / m]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
F &=&\frac {Q_{\mathrm {A}}Q_{\mathrm {B}}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。このとき，\( \ Q_{\mathrm {A}} \ \)，\( \ Q_{\mathrm {B}} \ \)の\( \ + \ \)\( \ – \ \)の符号が同符号である場合には斥力（反発する力），異符号である場合には引力（引き合う力）が働きます。

また，比例定数\( \ \displaystyle k=\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}≒9\times 10^{9} \ \mathrm {[N\cdot m^{2}/C^{2}]} \ \)として，
\[
\begin{eqnarray}
F &=&k\frac {Q_{\mathrm {A}}Q_{\mathrm {B}}}{r^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] とする場合もあります。

【解答】

解答：(3)
\( \ \mathrm {A} \ \)点の電荷によるクーロン力を\( \ F_{\mathrm {A}} \ \mathrm {[N]} \ \)，\( \ \mathrm {B} \ \)点の電荷によるクーロン力を\( \ F_{\mathrm {B}} \ \mathrm {[N]} \ \)とすると図2のようになる。\( \ F_{\mathrm {A}} \ \mathrm {[N]} \ \)及び\( \ F_{\mathrm {B}} \ \mathrm {[N]} \ \)は，ワンポイント解説「1.クーロンの法則」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
F_{\mathrm {A}} &=&\frac {3\times 10^{-7}Q}{4\pi \times 8.85\times 10^{-12}\times 1^{2}} \\[ 5pt ] &≒&2 \ 698Q \ \mathrm {[N]} \\[ 5pt ] F_{\mathrm {B}} &=&\frac {3\times 10^{-7}Q}{4\pi \times 8.85\times 10^{-12}\times 2^{2}} \\[ 5pt ] &≒&674.4Q \ \mathrm {[N]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，合成力\( \ F=5 \times 10^{-3} \ \mathrm {[N]} \ \)より，
\[
\begin{eqnarray}
F &=&F_{\mathrm {A}}-F_{\mathrm {B}} \\[ 5pt ] 5 \times 10^{-3} &=&2 \ 698Q-674.4Q \\[ 5pt ] 2 \ 024Q &≒&5 \times 10^{-3} \\[ 5pt ] Q&≒&2.47 \times 10^{-6} \ \mathrm {[C]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。