《理論》〈電磁気〉[H25:問1]平行平板コンデンサに関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆(やや易しい)

次の文章は,平行平板コンデンサに関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選びなさい。

図のように,真空中において,電圧が\( \ E \ \)の電圧源に平行平板コンデンサが接続されている(図は横から見た図である)。このコンデンサの各極板は一辺の長さが\( \ a \ \)の正方形の導体平板であり,その極板間の距離は\( \ d \ \)である。また,極板間には,極板と同形で厚さ\( \ d \ \),比誘電率が\( \ \varepsilon _{\mathrm {r}} \ \)の誘電体が極板に平行に入っている。また,真空の誘電率を\( \ \varepsilon _{0} \ \)とし,端効果はないものとする。

このコンデンサの静電容量は\( \ \fbox {  (1)  } \ \)であり,コンデンサに蓄えられたエネルギーは,\( \ \fbox {  (2)  } \ \)である。

ここで,外力を与えて誘電体をゆっくりと取り出すと,電源との電荷のやり取りがある一方,電圧は一定である。誘電体を完全に取り出したときに電源に移動した電荷は\( \ \fbox {  (3)  } \ \)で,電源に向かって供給されたエネルギーは,\( \ \fbox {  (4)  } \ \)である。また,外力がした仕事量は\( \ \fbox {  (5)  } \ \)である。

〔問1の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&(イ)& \frac {\varepsilon _{0}\left( \varepsilon _{\mathrm {r}}-1\right) a^{2}}{d}E^{2}   &(ロ)& \frac {1}{2}\frac {\varepsilon _{0}\left( \varepsilon _{\mathrm {r}}-1\right) a^{2}}{d}E^{2}   &(ハ)& \frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r}}a^{2}}{d} \\[ 5pt ] &(ニ)& \frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r}}a^{3}}{d^{2}}   &(ホ)& \frac {1}{2}\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r}}a^{2}}{d}E^{2}   &(ヘ)& \frac {\varepsilon _{0}\left( \varepsilon _{\mathrm {r}}-1\right) ^{2}a^{2}}{d}E \\[ 5pt ] &(ト)& \frac {\varepsilon _{0}a^{2}}{d}  &(チ)& \frac {3}{2}\frac {\varepsilon _{0}\left( \varepsilon _{\mathrm {r}}-1\right) a^{2}}{d}E^{2}    &(リ)& \frac {\varepsilon _{0}\left( \varepsilon _{\mathrm {r}}-1\right) a^{2}}{d}E \\[ 5pt ] &(ヌ)& \frac {\varepsilon _{0}a^{2}}{d}E^{2}   &(ル)& \frac {\varepsilon _{0}\left( \varepsilon _{\mathrm {r}}^{2}-1\right) a^{2}}{d}E   &(ヲ)& \frac {1}{2}\frac {\varepsilon _{0}\left( \varepsilon _{\mathrm {r}}-1\right) ^{2}a^{2}}{d}E^{2} \\[ 5pt ] &(ワ)& \frac {\varepsilon _{0}\left( \varepsilon _{\mathrm {r}}-1\right) ^{2}a^{2}}{d}E^{2}   &(カ)& \frac {1}{2}\frac {\varepsilon _{0}a^{2}}{d}E^{2}   &(ヨ)& 0 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

三種から定番となっている平行平板コンデンサの問題です。それほど難易度は高くないですが,似たような選択肢が多いので,読み間違えないように慎重に解いて行く必要があると思います。

1.平行平板コンデンサの極板間に現れる電荷\( \ Q \ \)
静電容量\( \ C \ \)のコンデンサに電圧\( \ V \ \)をかけ十分に時間が経った時に各極板に現れる電荷\( \ Q \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
Q&=&CV \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.平行平板コンデンサの静電容量\( \ C \ \)
極板間の誘電率\( \ \varepsilon \ \),各極板の面積\( \ S \ \),極板間の距離\( \ d \ \)とすると,このコンデンサの静電容量\( \ C \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
C&=&\frac {\varepsilon S}{d} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。また,極板間に比誘電率\( \ \varepsilon _{\mathrm {r}} \ \)の誘電体を挿入すると,極板間の誘電率\( \ \varepsilon \ \)は,真空の誘電率\( \ \varepsilon _{0} \ \)を用いて,
\[
\begin{eqnarray}
\varepsilon &=&\varepsilon _{\mathrm {r}}\varepsilon _{0} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があります。

3.コンデンサの静電エネルギー\( \ W \ \)
静電容量\( \ C \ \)のコンデンサに電圧\( \ V \ \)をかけた時にコンデンサに蓄えられる静電エネルギー\( \ W \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
W&=&\frac {1}{2}CV^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,「1.平行平板コンデンサの極板間に現れる電荷\( \ Q \ \)」の関係式を用いると,
\[
\begin{eqnarray}
W&=&\frac {1}{2}QV \\[ 5pt ] &=&\frac {Q^{2}}{2C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

(1)解答:ハ
ワンポイント解説「2.平行平板コンデンサの静電容量\( \ C \ \)」の通り,極板間の誘電率\( \ \varepsilon =\varepsilon _{\mathrm {r}}\varepsilon _{0} \ \),各極板の面積\( \ S=a^{2} \ \)であるから,静電容量\( \ C \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
C&=&\frac {\varepsilon S}{d} \\[ 5pt ] &=&\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r}} a^{2}}{d} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答:ホ
ワンポイント解説「3.コンデンサの静電エネルギー\( \ W \ \)」の通り,コンデンサに蓄えられたエネルギー\( \ W \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
W&=&\frac {1}{2}CE^{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{2}\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r}} a^{2}}{d}E^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答:リ
誘電体を取り出した後の静電容量\( \ C^{\prime } \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
C^{\prime }&=&\frac {\varepsilon _{0}a^{2}}{d} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから,誘電体を取り出す前後のコンデンサの電荷量を\( \ Q \ \)及び\( \ Q^{\prime } \ \)とすると,ワンポイント解説「1.平行平板コンデンサの極板間に現れる電荷\( \ Q \ \)」より,
\[
\begin{eqnarray}
Q&=&CE \\[ 5pt ] &=&\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r}} a^{2}}{d} E \\[ 5pt ] Q^{\prime }&=&C^{\prime }E \\[ 5pt ] &=&\frac {\varepsilon _{0} a^{2}}{d} E \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって,誘電体を取り出す前後に移動した電荷量\( \ \Delta Q \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\Delta Q &=&Q-Q^{\prime } \\[ 5pt ] &=&\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r}} a^{2}}{d} E-\frac {\varepsilon _{0} a^{2}}{d} E \\[ 5pt ] &=&\frac {\varepsilon _{0} a^{2}}{d} E\left( \varepsilon _{\mathrm {r}}-1 \right) \\[ 5pt ] &=&\frac {\varepsilon _{0}\left( \varepsilon _{\mathrm {r}}-1\right) a^{2}}{d}E \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答:イ
電源に向かって供給されたエネルギーを\( \ \Delta U \ \)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
\Delta U &=&E\cdot \Delta Q \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから,
\[
\begin{eqnarray}
\Delta U &=&E\cdot \frac {\varepsilon _{0}\left( \varepsilon _{\mathrm {r}}-1\right) a^{2}}{d}E \\[ 5pt ] &=&\frac {\varepsilon _{0}\left( \varepsilon _{\mathrm {r}}-1\right) a^{2}}{d}E^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答:ロ
誘電体を取り出した後のコンデンサの静電エネルギー\( \ W^{\prime } \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
W^{\prime }&=&\frac {1}{2}C^{\prime }E^{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{2}\frac {\varepsilon _{0} a^{2}}{d}E^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから,外力がした仕事量\( \ W^{\prime \prime } \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
W^{\prime \prime } &=&W-W^{\prime } \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{2}\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r}} a^{2}}{d}E^{2}-\frac {1}{2}\frac {\varepsilon _{0} a^{2}}{d}E^{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{2}\frac {\varepsilon _{0} a^{2}}{d}E^{2}\left( \varepsilon _{\mathrm {r}}-1 \right) \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{2}\frac {\varepsilon _{0}\left( \varepsilon _{\mathrm {r}}-1\right) a^{2}}{d}E^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。



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