《理論》〈電気回路〉[H26:問3]交流回路に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆(普通)

次の文章は,正弦波交流電源,抵抗,コイル,コンデンサからなる交流回路に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選びなさい。

図のような回路があり,コイルのインダクタンスは\( \ L=25 \ \mathrm {mH} \ \)で,電源の角周波数は\( \ \omega = 400 \ \mathrm {rad/s} \ \)である。ここで,電圧と電流を測定したところ,\( \ \left| {\dot V}_{\mathrm {S}}\right| =\left| {\dot V}_{\mathrm {R}}\right| =130 \ \mathrm {V} \ \),\( \ \left| \dot I\right| =10 \ \mathrm {A} \ \)であった。このとき,ベクトル(フェーザ)図において,複素電流\( \ \dot I \ \mathrm {[A]} \ \)と直交する複素電圧を,\( \ {\dot V}_{\mathrm {S}} \ \),\( \ {\dot V}_{\mathrm {R}} \ \)を使って表すと,\( \ \fbox {  (1)  } \ \mathrm {[V]} \ \)であり,\( \ \left| {\dot V}_{\mathrm {S}}-{\dot V}_{\mathrm {R}}\right| =\fbox {  (2)  } \ \mathrm {V} \ \)である。また,抵抗で消費される電力は\( \ \fbox {  (3)  } \ \mathrm {W} \ \)であり,抵抗\( \ R \ \)は\( \ \fbox {  (4)  } \ \Omega \ \),コンデンサの静電容量\( \ C \ \)は\( \ \fbox {  (5)  } \ \mathrm {\mu F} \ \)である。

   

〔問3の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&(イ)& {\dot V}_{\mathrm {S}}+{\dot V}_{\mathrm {R}}   &(ロ)& {\dot V}_{\mathrm {R}}   &(ハ)& 1000 \\[ 5pt ] &(ニ)& 100   &(ホ)& 13   &(ヘ)& 77 \\[ 5pt ] &(ト)& 74   &(チ)& 12    &(リ)& 0 \\[ 5pt ] &(ヌ)& 1200   &(ル)& 120   &(ヲ)& 14 \\[ 5pt ] &(ワ)& 1300   &(カ)& {\dot V}_{\mathrm {S}}-{\dot V}_{\mathrm {R}}   &(ヨ)& 59 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

問題の回路図と文章から正しいベクトル図を描けるかどうかが本問の肝となります。\( \ {\dot V}_{\mathrm {S}} \ \),\( \ {\dot V}_{\mathrm {R}} \ \)が同じ長さ,回路図から\( \ {\dot V}_{\mathrm {S}}={\dot V}_{\mathrm {R}}+\mathrm {j}\omega L \dot I \ \)である条件を満たすベクトル図は図1の通りとなります。

【解答】

(1)解答:カ
複素電流\(\dot I\)と直交する複素電圧は,図1の\( \ \mathrm {j}\omega L \dot I \ \)の事であるので,ベクトルで表すと\( \ {\dot V}_{\mathrm {S}}-{\dot V}_{\mathrm {R}} \ \)となる。

(2)解答:ニ
図1より,
\[
\begin{eqnarray}
\left| {\dot V}_{\mathrm {S}}-{\dot V}_{\mathrm {R}}\right| &=&\left| \mathrm {j}\omega L \dot I\right| \\[ 5pt ] &=&\left| \mathrm {j}400\times 25\times 10^{-3}\times 10\right| \\[ 5pt ] &=&\left| \mathrm {j}100\right| \\[ 5pt ] &=&100 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答:ヌ
抵抗とコンデンサを流れる電流\( \ {\dot I}_{\mathrm {R}} \ \)及び\( \ {\dot I}_{\mathrm {C}} \ \)は,抵抗の場合は\( \ {\dot V}_{\mathrm {R}} \ \)と同相,コンデンサの場合は電圧から\( \ \displaystyle \frac {\pi }{2} \ \mathrm {rad} \ \)の進みとなるので,ベクトル図は図2のように描ける。また,図2より,
\[
\begin{eqnarray}
\sin \theta &=&\frac {\frac {\left| \mathrm {j}\omega L \dot I\right| }{2}}{\left| {\dot V}_{\mathrm {R}}\right| } \\[ 5pt ] &=&\frac {50}{130} \\[ 5pt ] &=&\frac {5}{13} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] \[
\begin{eqnarray}
\cos \theta &=&\sqrt {1-\sin ^{2}\theta } \\[ 5pt ] &=&\sqrt {1-\left( \frac {5}{13}\right) ^{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {12}{13} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので,抵抗で消費される電力\( \ W_{\mathrm {R}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
W_{\mathrm {R}} &=&\left| {\dot V}_{\mathrm {R}}\right| \left| {\dot I}_{\mathrm {R}}\right| \\[ 5pt ] &=&\left| {\dot V}_{\mathrm {R}}\right| \left| \dot I\right| \cos \theta \\[ 5pt ] &=&130\times 10\times \frac {12}{13} \\[ 5pt ] &=&1200 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答:ヲ
\( \ \displaystyle W_{\mathrm {R}}=\frac {\left| {\dot V}_{\mathrm {R}}\right| ^{2}}{R} \ \)であるから,
\[
\begin{eqnarray}
R &=&\frac {\left| {\dot V}_{\mathrm {R}}\right| ^{2}}{W_{\mathrm {R}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {130 ^{2}}{1200} \\[ 5pt ] &≒&14.1 → 14 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答:ト
コンデンサ\( \ C \ \)での無効電力\( \ W_{\mathrm {C}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
W_{\mathrm {C}} &=&\left| {\dot V}_{\mathrm {R}}\right| \left| {\dot I}_{\mathrm {C}}\right| \\[ 5pt ] &=&\left| {\dot V}_{\mathrm {R}}\right| \left| \dot I\right| \sin \theta \\[ 5pt ] &=&130\times 10\times \frac {5}{13} \\[ 5pt ] &=&500 \ \mathrm {[var]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから,
\[
\begin{eqnarray}
W_{\mathrm {C}} &=&\omega C \left| {\dot V}_{\mathrm {R}}\right| ^{2} \\[ 5pt ] 500&=&400 C \times 130^{2} \\[ 5pt ] C&=&\frac {500}{400\times 130^{2}} \\[ 5pt ] &≒&7.40 \times 10^{-5} \ \mathrm {[F]} → 74 \ \mathrm {[\mu F]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。



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