《理論》〈電気回路〉[H23:問7]直流回路の抵抗に流れる電流に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

図のように，可変抵抗$\ R_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ $，$\ R_{2} \ \mathrm {[\Omega ]} \ $，抵抗$\ R_{\mathrm {x}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ $，電源$\ E \ \mathrm {[V]} \ $からなる直流回路がある。次に示す条件$\ 1 \ $のときの$\ R_{\mathrm {x}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ $に流れる電流$\ I \ \mathrm {[A]} \ $の値と条件$\ 2 \ $のときの電流$\ I \ \mathrm {[A]} \ $の値は等しくなった。このとき，$\ R_{\mathrm {x}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ $の値として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　条件$\ 1 \ $：$\ R_{1}=90 \ \mathrm {[\Omega ]} \ $，$\ R_{2}=6 \ \mathrm {[\Omega ]} \ $
　条件$\ 2 \ $：$\ R_{1}=70 \ \mathrm {[\Omega ]} \ $，$\ R_{2}=4 \ \mathrm {[\Omega ]} \ $

　(1)　$\ 1 \ $　　(2)　$\ 2 \ $　　(3)　$\ 4 \ $　　(4)　$\ 8 \ $　　(5)　$\ 12 \ $

【ワンポイント解説】

直流回路の計算問題です。
分数の形が少しだけ複雑となり，計算量が多めの問題ですが，扱う公式が基本公式なので電験の受験生の場合，多くの受験生が正答を導き出してくる問題かと思います。

1.合成抵抗
抵抗$\ R_{1} \ $と$\ R_{2} \ $が与えられている時，それぞれの合成抵抗$\ R \ $は以下の式で与えられます。

①直列
直列合成抵抗$\ R \ $は，

$$\begin{eqnarray} R&=&R_{1}+R_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となります。

②並列
並列合成抵抗$\ R \ $は，

$$\begin{eqnarray} \frac {1}{R}&=&\frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となり，整理すると，
$$\begin{eqnarray} R&=&\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となります。

2.分圧・分流の法則
①分圧の法則
図1に示した直列回路において，各抵抗にかかる電圧は以下の通りとなります。

$$\begin{eqnarray} V_{\mathrm {R1}}&=&\frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}E \\[ 5pt ] V_{\mathrm {R2}}&=&\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}E \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$

②分流の法則
図2に示した並列回路において，各抵抗に流れる電流は以下の通りとなります。分子の抵抗が分圧の法則と逆となることに注意して下さい。

$$\begin{eqnarray} I_{\mathrm {R1}}&=&\frac {\color{red}{R_{2}}}{R_{1}+R_{2}}I \\[ 5pt ] I_{\mathrm {R2}}&=&\frac {\color{red}{R_{1}}}{R_{1}+R_{2}}I \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$

【解答】

解答：(4)
問題図の回路の合成抵抗$\ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ $は，ワンポイント解説「1.合成抵抗」の通り，

$$\begin{eqnarray} R&=&R_{1}+\frac {R_{2}R_{\mathrm {x}}}{R_{2}+R_{\mathrm {x}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ であるので，電源$\ E \ \mathrm {[V]} \ $に流れる電流$\ I_{0} \ \mathrm {[A]} \ $は，
$$\begin{eqnarray} I_{0}&=&\frac {E}{R} \\[ 5pt ] &=&\frac {E}{\displaystyle R_{1}+\frac {R_{2}R_{\mathrm {x}}}{R_{2}+R_{\mathrm {x}}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となる。ワンポイント解説「2.分圧・分流の法則」の分流の法則より，$\ R_{\mathrm {x}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ $に流れる電流$\ I \ \mathrm {[A]} \ $は，
$$\begin{eqnarray} I&=&\frac {R_{2}}{R_{2}+R_{\mathrm {x}}}I_{0} \\[ 5pt ] &=&\frac {R_{2}}{R_{2}+R_{\mathrm {x}}}\cdot \frac {E}{\displaystyle R_{1}+\frac {R_{2}R_{\mathrm {x}}}{R_{2}+R_{\mathrm {x}}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {R_{2}E}{\displaystyle \left( R_{2}+R_{\mathrm {x}}\right) \cdot R_{1}+\left( R_{2}+R_{\mathrm {x}}\right) \cdot \frac {R_{2}R_{\mathrm {x}}}{R_{2}+R_{\mathrm {x}}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {R_{2}E}{R_{1}R_{2}+R_{1}R_{\mathrm {x}}+R_{2}R_{\mathrm {x}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ と求められる。条件$\ 1 \ $及び条件$\ 2 \ $にて$\ I \ \mathrm {[A]} \ $の値が等しいことから，
$$\begin{eqnarray} \frac {6E}{90\times 6+90R_{\mathrm {x}}+6R_{\mathrm {x}}}&=&\frac {4E}{70\times 4+70R_{\mathrm {x}}+4R_{\mathrm {x}}} \\[ 5pt ] \frac {6}{540+96R_{\mathrm {x}}}&=&\frac {4}{280+74R_{\mathrm {x}}} \\[ 5pt ] \frac {1}{90+16R_{\mathrm {x}}}&=&\frac {2}{140+37R_{\mathrm {x}}} \\[ 5pt ] 140+37R_{\mathrm {x}}&=&2\left( 90+16R_{\mathrm {x}}\right) \\[ 5pt ] &=&180+32R_{\mathrm {x}} \\[ 5pt ] 5R_{\mathrm {x}}&=&40 \\[ 5pt ] R_{\mathrm {x}}&=&8 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ と求められる。