《理論》〈電気回路〉[H29:問6]直流回路の定常状態に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆(やや難しい)

\( \ R_{1}=20 \ \Omega \ \),\( \ R_{2}=30 \ \Omega \ \)の抵抗,インダクタンス\( \ L_{1}=20 \ \mathrm {mH} \ \),\( \ L_{2}=40 \ \mathrm {mH} \ \)のコイル及び静電容量\( \ C_{1}=400 \ \mathrm {\mu F} \ \),\( \ C_{2}=600 \ \mathrm {\mu F} \ \)のコンデンサからなる図のような直並列回路がある。直流電圧\( \ E=100 \ \mathrm {V} \ \)を加えたとき,定常状態において,\( \ L_{1} \ \),\( \ L_{2} \ \),\( \ C_{1} \ \)及び\( \ C_{2} \ \)に蓄えられるエネルギーの総和の値\( \ \left[ \mathrm {J}\right] \ \)として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

  

 (1) \(0.12\)  (2) \(1.20\)  (3) \(1.32\)  (4) \(1.40\)  (5) \(1.52\)

【ワンポイント解説】

定常状態における各インピーダンスの特性を確認する問題です。定常状態とは,接続して十分時間が経ち回路として安定した状態のことです。直流回路では,コンデンサには電流は流れないので,交流回路と勘違いしないようにしましょう。

1.インダクタンス\( \ L \ \)の電圧降下
インダクタンスの電圧降下は\( \ L\displaystyle \frac {\mathrm {d}i}{\mathrm {d}t} \ \)で表され,電流の時間変化に比例します。そのため,電流の時間変化がなくなる定常状態においては,\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}i}{\mathrm {d}t}=0 \ \)となり,インダクタンスでの電圧降下はなくなります。

2.インダクタンス\( \ L \ \)とコンデンサ\( \ C \ \)に蓄えられるエネルギー
電圧\( \ V \ \),電流\( \ I \ \)とすると,インダクタンス\( \ L \ \)とコンデンサ\( \ C \ \)に蓄えられるエネルギー\( \ W_{\mathrm {L}} \ \)と\( \ W_{\mathrm {C}} \ \)は以下の式となります。
\[
\begin{eqnarray}
W_{\mathrm {L}}&=&\frac {1}{2}LI^{2} \\[ 5pt ] W_{\mathrm {C}}&=&\frac {1}{2}CV^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【解答】

解答:(5)
コンデンサには電流は流れず,定常状態においてはインダクタンスの電圧降下は発生しないので,回路を流れる電流は抵抗分のみ考えればよい。したがって,回路に流れる電流\( \ I \ \)とすると,回路方程式は,
\[
\begin{eqnarray}
E&=&R_{1}I+R_{2}I \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるため,\( \ I \ \)について解くと,
\[
\begin{eqnarray}
E&=&\left( R_{1}+R_{2}\right) I \\[ 5pt ] I&=&\frac {E}{R_{1}+R_{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {100}{20+30} \\[ 5pt ] &=&2 \ \left[ \mathrm {A}\right] \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって,\( \ R_{1} \ \),\( \ R_{2} \ \)の両端にかかる電圧\( \ V_{1} \ \),\( \ V_{2} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
V_{1}&=&R_{1}I \\[ 5pt ] &=&20\times 2 \\[ 5pt ] &=&40\left[ \mathrm {V}\right] V_{2}&=&R_{2}I \\[ 5pt ] &=&30\times 2 \\[ 5pt ] &=&60\left[ \mathrm {V}\right] \end{eqnarray}
\] となる。\( \ C_{1} \ \)と\( \ R_{1} \ \),\( \ C_{2} \ \)と\( \ R_{2} \ \)は並列であるから,\( \ C_{1} \ \)にかかる電圧は\( \ V_{1}=40 \ \mathrm {V} \ \),\( \ C_{2} \ \)にかかる電圧は\( \ V_{2}=60\mathrm {V} \ \)となる。
以上より,\( \ L_{1} \ \),\( \ L_{2} \ \),\( \ C_{1} \ \)及び\( \ C_{2} \ \)に蓄えられるエネルギーの総和\( \ W \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
W &=& \frac {1}{2}L_{1}I^{2}+\frac {1}{2}L_{2}I^{2}+\frac {1}{2}C_{1}V_{1}^{2}+\frac {1}{2}C_{2}V_{2}^{2} \\[ 5pt ] &=& \frac {1}{2}\times 20\times 10^{-3}\times 2^{2}+\frac {1}{2}\times 40\times 10^{-3}\times 2^{2}+\frac {1}{2}\times 400\times 10^{-6}\times 40^{2}+\frac {1}{2}\times 600\times 10^{-6}\times 60^{2} \\[ 5pt ] &=& 1.52\left[ \mathrm {J}\right] \end{eqnarray}
\] と求められる。