《理論》〈電気回路〉[H29:問6]直流回路の定常状態に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆(やや難しい)

\(R_{1}=20\Omega \),\(R_{2}=30\Omega \)の抵抗,インダクタンス\(L_{1}=20\mathrm {mH}\),\(L_{2}=40\mathrm {mH}\)のコイル及び静電容量\(C_{1}=400\mathrm {\mu F}\),\(C_{2}=600\mathrm {\mu F}\)のコンデンサからなる図のような直並列回路がある。直流電圧\(E=100\mathrm {V}\)を加えたとき,定常状態において,\(L_{1}\),\(L_{2}\),\(C_{1}\)及び\(C_{2}\)に蓄えられるエネルギーの総和の値\(\left[ \mathrm {J}\right]\)として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(1) 0.12  (2) 1.20  (3) 1.32  (4) 1.40  (5) 1.52

【ワンポイント解説】

定常状態における各インピーダンスの特性を確認する問題です。定常状態とは,接続して十分時間が経ち回路として安定した状態のことです。直流回路では,コンデンサには電流は流れないので,交流回路と勘違いしないようにしましょう。

1.インダクタンス\(L\)の電圧降下
インダクタンスの電圧降下は\(L\displaystyle \frac {di}{dt}\)で表され,電流の時間変化に比例します。そのため,電流の時間変化がなくなる定常状態においては,\(\displaystyle \frac {di}{dt}=0\)となり,電圧降下はなくなります。

2.インダクタンス\(L\)とコンデンサ\(C\)に蓄えられるエネルギー
電圧\(V\),電流\(I\)とすると,インダクタンス\(L\)とコンデンサ\(C\)に蓄えられるエネルギー\(W_{L}\)と\(W_{C}\)は以下の式となります。
\[
W_{L}=\frac {1}{2}LI^{2}
\] \[
W_{C}=\frac {1}{2}CV^{2}
\]

【解答】

解答:(5)
コンデンサには電流は流れず,定常状態においてはインダクタンスの電圧降下は発生しないので,回路を流れる電流は抵抗分のみ考えればよい。したがって,回路に流れる電流\(I\)とすると,回路方程式は,
\[
E=R_{1}I+R_{2}I
\] となるため,\(I\)について解くと,
\[
I=\frac {E}{R_{1}+R_{2}}=\frac {100}{20+30}=2\left[ \mathrm {A}\right] \] となる。よって,\(R_{1}\),\(R_{2}\)の両端にかかる電圧\(V_{1}\),\(V_{2}\)は,
\[
V_{1}=R_{1}I=20\times 2=40\left[ \mathrm {V}\right] \] \[
V_{2}=R_{2}I=30\times 2=60\left[ \mathrm {V}\right] \] となる。\(C_{1}\)と\(R_{1}\),\(C_{2}\)と\(R_{2}\)は並列であるから,\(C_{1}\)にかかる電圧は\(V_{1}=40\mathrm {V}\),\(C_{2}\)にかかる電圧は\(V_{2}=60\mathrm {V}\)となる。
よって,\(L_{1}\),\(L_{2}\),\(C_{1}\)及び\(C_{2}\)に蓄えられるエネルギーの総和\(W\)は,
\[
\begin{eqnarray}
W &=& \frac {1}{2}L_{1}I^{2}+\frac {1}{2}L_{2}I^{2}+\frac {1}{2}C_{1}V_{1}^{2}+\frac {1}{2}C_{2}V_{2}^{2} \\[ 5pt ] &=& \frac {1}{2}\times 20\times 10^{-3}\times 2^{2}+\frac {1}{2}\times 40\times 10^{-3}\times 2^{2}+\frac {1}{2}\times 400\times 10^{-6}\times 40^{2}+\frac {1}{2}\times 600\times 10^{-6}\times 60^{2} \\[ 5pt ] &=& 1.52\left[ \mathrm {J}\right] \end{eqnarray}
\] と求められる。