《理論》〈電気回路〉[R4上:問5]直並列の直流回路における電流値の導出に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

図1のように，二つの抵抗\( \ R_{1}=1 \ \mathrm {\Omega } \ \)，\( \ R_{2} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)と電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)の直流電源からなる回路がある。この回路において，抵抗\( \ R_{2} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の両端の電圧値が\( \ 100 \ \mathrm {V} \ \)，流れる電流\( \ I_{2} \ \)の値が\( \ 5 \ \mathrm {A} \ \)であった。この回路に図2のように抵抗\( \ R_{3}=5 \ \mathrm {\Omega } \ \)を接続したとき，抵抗\( \ R_{3} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)に流れる電流\( \ I_{3} \ \)の値\( \ \mathrm {[A]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ 4.2 \ \)　　(2)　\( \ 16.8 \ \)　　(3)　\( \ 20 \ \)　　(4)　\( \ 21 \ \)　　(5)　\( \ 26.3 \ \)　　

【ワンポイント解説】

直流回路の計算問題です。
単純に電流値を求めよという超基本問題ではありませんが，基本公式を理解するという意味では非常に良い問題かと思います。
分圧・分流の法則は電験でも頻出の公式となりますので，必ず理解しておくようにしましょう。

1.合成抵抗
抵抗\( \ R_{1} \ \)と\( \ R_{2} \ \)が与えられている時，それぞれの合成抵抗\( \ R \ \)は以下の式で与えられます。

①直列
直列合成抵抗\( \ R \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
R&=&R_{1}+R_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

②並列
並列合成抵抗\( \ R \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {1}{R}&=&\frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
R&=&\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.分圧・分流の法則
①分圧の法則
図3に示した直列回路において，各抵抗にかかる電圧は以下の通りとなります。
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {R1}}&=&\frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}E \\[ 5pt ] V_{\mathrm {R2}}&=&\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}E \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

②分流の法則
図4に示した並列回路において，各抵抗に流れる電流は以下の通りとなります。分子の抵抗が分圧の法則と逆となることに注意して下さい。
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {R1}}&=&\frac {\color{red}{R_{2}}}{R_{1}+R_{2}}I \\[ 5pt ] I_{\mathrm {R2}}&=&\frac {\color{red}{R_{1}}}{R_{1}+R_{2}}I \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【解答】

解答：(2)
図1において，\( \ R_{2} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の両端の電圧値が\( \ V_{2}=100 \ \mathrm {[V]} \ \)，回路に流れる電流\( \ I_{2}= 5 \ \mathrm {[A]} \ \)なので，
\[
\begin{eqnarray}
R_{2}&=&\frac {V_{2}}{I_{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {100}{5} \\[ 5pt ] &=&20 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。電源の電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)は，ワンポイント解説「1.合成抵抗」の通り，回路の合成抵抗が\( \ R_{1}+R_{2} \ \)であることから，
\[
\begin{eqnarray}
V&=&\left( R_{1}+R_{2}\right) I_{2} \\[ 5pt ] &=&\left( 1+20\right) \times 5 \\[ 5pt ] &=&105 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。次に，図2において，回路の合成抵抗\( \ R_{0} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，ワンポイント解説「1.合成抵抗」より，
\[
\begin{eqnarray}
R_{0}&=&R_{1}+\frac {R_{2}R_{3}}{R_{2}+R_{3}} \\[ 5pt ] &=&1+\frac {20\times 5}{20+5} \\[ 5pt ] &=&5 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，電源を流れる電流\( \ I_{0} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{0}&=&\frac {V}{R_{0}} \\[ 5pt ] &=&\frac {105}{5} \\[ 5pt ] &=&21 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，ワンポイント解説「2.分圧・分流の法則」の通り，抵抗\( \ R_{3} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)を流れる電流\( \ I_{3} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{3}&=&\frac {R_{2}}{R_{2}+R_{3}}I_{0} \\[ 5pt ] &=&\frac {20}{20+5}\times 21 \\[ 5pt ] &=&16.8 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。