《機械》〈電熱〉[H28:問17]ヒートポンプ式電気給湯器に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

図はヒートポンプ式電気給湯器の概要図である。ヒートポンプユニットの消費電力は\( \ \mathrm {1.34 \ kW} \ \)，\( \ \mathrm {COP} \ \)(成績係数)は\( \ 4.0 \ \)である。また，貯湯タンクには\( \ \mathrm {17 \ ℃} \ \)の水\( \ \mathrm {460 \ L} \ \)が入っている。この水全体を\( \ \mathrm {88 \ ℃} \ \)まで加熱したい。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a)　この加熱に必要な熱エネルギー\( \ W_{\mathrm {h}} \ \)の値\( \ \mathrm { [ MJ ] } \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし，貯湯タンク，ヒートポンプユニット，配管などからの熱損失はないものとする。また，水の比熱容量は\( \ \mathrm {4.18 \ kJ/ ( kg \cdot K ) } \ \)，水の密度は\( \ \mathrm {1.00\times 10^{3} \ kg / m^{3}} \ \)であり，いずれも水の温度に関係なく一定とする。

　(1)　\( \ 37 \ \)　　(2)　\( \ 137 \ \)　　(3)　\( \ 169 \ \)　　(4)　\( \ 202 \ \)　　(5)　\( \ 297 \ \)

(b)　この加熱に必要な時間\( \ t \ \)の値\( \ \mathrm { [ h ] } \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし，ヒートポンプユニットの消費電力及び\( \ \mathrm {COP} \ \)はいずれも加熱の開始から終了まで一定とする。

　(1)　\( \ 1.9 \ \)　　(2)　\( \ 7.1 \ \)　　(3)　\( \ 8.8 \ \)　　(4)　\( \ 10.5 \ \)　　(5)　\( \ 15.4 \ \)

【ワンポイント解説】

ヒートポンプの問題は数年に１回程度基本的な内容が出題されます。ヒートポンプは電気給湯器の場合，空気で冷媒を温めます。したがって，原理上必要な電力が圧縮機の電力のみとなり，通常の加熱方式に比べて圧倒的に少なくなります。よって，その能力の指標となる，熱交換器(水加熱)の放熱熱量に対する圧縮機に要した電力を成績係数(\( \ \mathrm {COP} \ \))と言います。

【解答】

(a)解答：(2)
加熱に必要なエネルギー\( \ Q \ \)は，質量\( \ m \ \)，比熱容量\( \ c \ \)，温度差\( \ \Delta T \ \)とすると
\[
\begin{eqnarray}
Q&=&mc\Delta T \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] である。題意より，\( \ m=460\times 1 =460 \ \mathrm { [ kg ] } \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
Q&=&mc\Delta T \\[ 5pt ] &=&460\times 4.18 \times \left( 88 -17 \right) \\[ 5pt ] &≒&136519 \ \mathrm {[ kJ ] }　→　137 \ \mathrm { [ MJ ] } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。

(b)解答：(2)
ヒートポンプユニットの消費電力は\( \ \mathrm {1.34 \ kW} \ \)，\( \ \mathrm {COP} \ \)(成績係数)は\( \ 4.0 \ \)であるから，熱交換器(水加熱)での時間\( \ t \ \mathrm { [ h ] } \ \)での熱供給量\( \ W \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
W&=&1.34 \times 4.0 \times 3600t \\[ 5pt ] &=&19296t \ \mathrm { [ kJ ] } \\[ 5pt ]　
\end{eqnarray}
\] となる。この\( \ W \ \)が(1)の\( \ Q \ \)と等しいので，
\[
\begin{eqnarray}
t&=&\frac {136519}{19296} \\[ 5pt ] &≒&7.1 \ \mathrm { [ h ] }　 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。