《機械》〈電動機応用〉[R07上:問11]巻上機によって物体を巻き上げているときの巻上速度に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

巻上機によって電動機出力\( \ 4 \ \mathrm {kW} \ \)で質量\( \ 900 \ \mathrm {kg} \ \)の物体を一定速度で巻き上げているときの巻上速度の値\( \ \mathrm {[m/s]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし，機械効率は\( \ 90 \ \mathrm {％} \ \)，ロープの質量及び加速に要する動力については考慮しないものとする。なお，重力加速度は\( \ 9.8 \ \mathrm {m/s^{2}} \ \)とする。

　(1)　\( \ 0.37 \ \)　　(2)　\( \ 0.41 \ \)　　(3)　\( \ 0.45 \ \)　　(4)　\( \ 0.59 \ \)　　(5)　\( \ 0.87 \ \)

【ワンポイント解説】

巻上機によって物体を巻き上げているときの巻上速度を求める問題です。
難易度の割に受験生の正答率が低い傾向にある問題であるため，ぜひ正答して差をつけるようにして下さい。
本問は過去問からの再出題ではありませんが，巻上機に関する問題は令和6年上期問11，令和3年問10と出題が増加傾向となっています。

1.物体を持ち上げるのに必要な動力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)
\( \ m \ \mathrm {[kg]} \ \)の物体を持ち上げるのに必要な力\( \ F \ \mathrm {[N]} \ \)は，重力加速度を\( \ g \ \mathrm {[m / s^{2}]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
F &=&mg \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，距離\( \ x \ \mathrm {[m]} \ \)持ち上げるのに必要な仕事\( \ W \ \mathrm {[J]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
W &=&Fx \\[ 5pt ] &=&mgx \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。距離\( \ x \ \mathrm {[m]} \ \)持ち上げるのに要した時間を\( \ t \ \mathrm {[s]} \ \)とすると，速度\( \ \displaystyle v=\frac {x}{t} \ \mathrm {[m／s]} \ \)より，必要な動力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P &=&\frac {W}{t} \\[ 5pt ] &=&\frac {mgx}{t} \\[ 5pt ] &=&mgv \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。この最後の式は覚えておくようにしましょう。

【解答】

解答：(2)
電動機出力\( \ P_{\mathrm {m}}=4 \ \mathrm {[kW]} \ \)，機械効率\( \ \eta = 0.90 \ \)で質量\( \ m=900 \ \mathrm {[kg]} \ \)の物体を一定速度\( \ v \ \mathrm {[m/s]} \ \)で巻き上げているので，ワンポイント解説「1.物体を持ち上げるのに必要な動力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {m}} \eta &=&mgv \\[ 5pt ] v &=&\frac {P_{\mathrm {m}} \eta }{mg} \\[ 5pt ] &=&\frac {4\times 10^{3} \times 0.90 }{900\times 9.8} \\[ 5pt ] &≒&0.408　→　0.41 \ \mathrm {[m/s]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。