《理論》〈電磁気〉[R07下:問1]誘電体挿入量を変化させたコンデンサの静電容量の比に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

真空中において，一辺\( \ l \ \mathrm {[m]} \ \)の正方形電極を間隔\( \ d \ \mathrm {[m]} \ \)で配置した平行板コンデンサがある。図1はこのコンデンサの電極板間に比誘電率\( \ \varepsilon _{\mathrm {r}}=5 \ \)の誘電体を挿入した状態，図2は図1の誘電体を電極面積の\( \ \displaystyle \frac {1}{2} \ \)だけ引き出した状態を示している。図1及び図2の二つのコンデンサの静電容量\( \ C_{1} \ \mathrm {[F]} \ \)及び\( \ C_{2} \ \mathrm {[F]} \ \)の比\( \ \left( C_{1} : C_{2} \right) \ \)として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

ただし，\( \ l ≫ d \ \)であり，コンデンサの端効果は無視できるものとする。

　(1)　\( \ 2:1 \ \)　　(2)　\( \ 3:2 \ \)　　(3)　\( \ 5:2 \ \)　　(4)　\( \ 5:3 \ \)　　(5)　\( \ 5:4 \ \)

【ワンポイント解説】

誘電体挿入量を変化させた平行平板コンデンサの静電容量に関する問題です。
一気に求めようとすると訳が分からなくなりますが，一つずつ求めていけば問題なく解けるかと思います。
特に朝一の問1は緊張しやすいので，落ち着いて解いていくようにして下さい。
本問は平成15年問2の比誘電率の数値を変えた問題です。

1.平行平板コンデンサの静電容量\( \ C \ \)
平行平板コンデンサの静電容量\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)は，真空の誘電率を\( \ \varepsilon _{0} \ \mathrm {[F / m]} \ \)，極板の面積を\( \ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ \)，極板間の距離を\( \ d \ \mathrm {[m]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
C &=&\frac {\varepsilon _{0}S}{d} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。平行平板コンデンサの間に比誘電率\( \ \varepsilon _{\mathrm {r}} \ \)の誘電体を挿入すると，
\[
\begin{eqnarray}
C &=&\frac {\varepsilon _{\mathrm {r}} \varepsilon _{0}S}{d} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.コンデンサの合成静電容量
静電容量\( \ C_{1} \ \mathrm {[F]} \ \)と\( \ C_{2} \ \mathrm {[F]} \ \)の合成静電容量\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)は，
　　並列接続時：\( \ C=C_{1}+C_{2} \ \)
　　直列接続時：\( \ \displaystyle C=\frac {1}{\displaystyle \frac {1}{C_{1}}+\frac {1}{C_{2}}}=\frac {C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}} \ \)
となります。

【解答】

解答：(4)
図1のコンデンサの静電容量\( \ C_{1} \ \mathrm {[F]} \ \)は，真空の誘電率を\( \ \varepsilon _{0} \ \mathrm {[F / m]} \ \)とおくと，ワンポイント解説「1.平行平板コンデンサの静電容量\( \ C \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
C_{1} &=&\frac {\varepsilon _{\mathrm {r}} \varepsilon _{0}l^{2}}{d} \\[ 5pt ] &=&\frac {5 \varepsilon _{0}l^{2}}{d} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。一方，図2のコンデンサは真空のコンデンサと誘電体を挿入したコンデンサを並列に接続したものと考えればよいから，静電容量\( \ C_{2} \ \mathrm {[F]} \ \)は，ワンポイント解説「1.平行平板コンデンサの静電容量\( \ C \ \)」及び「2.コンデンサの合成静電容量」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
C_{2} &=&\frac {\displaystyle \varepsilon _{0}\frac {l^{2}}{2}}{d}+\frac {\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {r}} \varepsilon _{0}\frac {l^{2}}{2}}{d} \\[ 5pt ] &=&\frac {\displaystyle \varepsilon _{0}\frac {l^{2}}{2}}{d}+\frac {\displaystyle 5 \varepsilon _{0}\frac {l^{2}}{2}}{d} \\[ 5pt ] &=&\frac {\displaystyle 6 \varepsilon _{0}\frac {l^{2}}{2}}{d} \\[ 5pt ] &=&\frac {3 \varepsilon _{0}l^{2}}{d} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。したがって，静電容量の比は\( \ \ C_{1} : C_{2} = 5 : 3 \ \)と求められる。