【問題】
【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）
直流電圧\( \ 1 \ 000 \ \mathrm {V} \ \)の電源で充電された静電容量\( \ 8 \ \mathrm {\mu F} \ \)の平行板コンデンサがある。コンデンサを電源から外した後に電荷を保持したままコンデンサの電極間距離を元の距離の\( \ 2 \ \)倍にしたとき，静電容量\( \ \mathrm {[\mu F]} \ \)と静電エネルギー\( \ \mathrm {[J]} \ \)の値の組合せとして，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
\[
\begin{array}{ccc}
& 静電容量 & 静電エネルギー \\
\hline
(1) & 4 & 4 \\
\hline
(2) & 4 & 8 \\
\hline
(3) & 16 & 2 \\
\hline
(4) & 16 & 4 \\
\hline
(5) & 16 & 8 \\
\hline
\end{array}
\]
【ワンポイント解説】
平行平板コンデンサの静電容量と静電エネルギーに関する問題です。
問題に図が与えられていないので，本番でもミスを防止するため自分で図を描いてイメージをつけるようにして下さい。
本問は平成23年問2の数値を一部変更した問題です。
1.電荷\( \ Q \ \)と静電容量\( \ C \ \)及び電圧\( \ V \ \)の関係
平行平板コンデンサにおいて，蓄えられる電荷\( \ Q \ \mathrm {[C]} \ \)と静電容量\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)及び電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)には，
\[
\begin{eqnarray}
Q &=&CV \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係があります。
2.平行平板コンデンサの静電容量\( \ C \ \)
平行平板コンデンサの静電容量\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)は，真空の誘電率を\( \ \varepsilon _{0} \ \mathrm {[F / m]} \ \)，極板の面積を\( \ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ \)，極板間の距離を\( \ d \ \mathrm {[m]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
C &=&\frac {\varepsilon _{0}S}{d} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。平行平板コンデンサの間に比誘電率\( \ \varepsilon _{\mathrm {r}} \ \)の誘電体を挿入すると，
\[
\begin{eqnarray}
C &=&\frac {\varepsilon _{\mathrm {r}} \varepsilon _{0}S}{d} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
3.コンデンサの静電エネルギー\( \ W \ \)
コンデンサの静電エネルギー\( \ W \ \mathrm {[J]} \ \)は，コンデンサの静電容量\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)及びコンデンサに加わる電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
W &=&\frac {1}{2}CV^{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であり，\( \ Q=CV \ \)の関係から，
\[
\begin{eqnarray}
W&=&\frac {1}{2}QV \\[ 5pt ]
&=&\frac {Q^{2}}{2C} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
【解答】
解答：(2)
問題に沿って図を描くと図1のようになる。
図1左において，コンデンサに蓄えられる電荷\( \ Q \ \mathrm {[C]} \ \)は，ワンポイント解説「1.電荷\( \ Q \ \)と静電容量\( \ C \ \)及び電圧\( \ V \ \)の関係」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
Q &=&CV \\[ 5pt ]
&=&8\times 10^{-6}\times 1 \ 000 \\[ 5pt ]
&=&8\times 10^{-3} \ \mathrm {[C]}\\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，ワンポイント解説「2.平行平板コンデンサの静電容量\( \ C \ \)」の通り，コンデンサの静電容量は電極間距離\( \ d \ \mathrm {[m]} \ \)に反比例するので，電極間距離を\( \ 2 \ \)倍にしたときの静電容量\( \ C^{\prime } \ \mathrm {[\mu F]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
C^{\prime } &=&\frac {1}{2}C \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{2}\times 8 \\[ 5pt ]
&=&4 \ \mathrm {[\mu F]}\\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。また，電荷は保持したままなので，静電エネルギー\( \ W \ \mathrm {[J]} \ \)は，ワンポイント解説「3.平行平板コンデンサの静電エネルギー\( \ W \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
W &=&\frac {Q^{2}}{2C^{\prime }} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\left( 8\times 10^{-3}\right) ^{2}}{2\times 4\times 10^{-6}} \\[ 5pt ]
&=&8 \ \mathrm {[J]}\\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
