【問題】
【難易度】★☆☆☆☆（易しい）
図のような\( \ RC \ \)交流回路がある。この回路に正弦波交流電圧\( \ E \ \mathrm {[V]} \ \)を加えたとき，容量性リアクタンス\( \ 6 \ \mathrm {\Omega } \ \)のコンデンサの端子間電圧の大きさは\( \ 12 \ \mathrm {V} \ \)であっ
た。このとき，\( \ E \ \mathrm {[V]} \ \)と図の破線で囲んだ回路で消費される電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)の値として，正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。
\[
\begin{array}{ccc}
& E \ \mathrm {[V]} & P \ \mathrm {[W]} \\
\hline
(1) & 20 & 96 \\
\hline
(2) & 20 & 32 \\
\hline
(3) & 28 & 168 \\
\hline
(4) & 28 & 120 \\
\hline
(5) & 40 & 309 \\
\hline
\end{array}
\]
【ワンポイント解説】
特定の電圧値とインピーダンスから電源電圧と消費電力を導出する問題です。
求められるものを順番に求めていけば正答を出すことができますので，基本知識を理解していることが重要となります。
消費電力の出題で無効電力を含めてしまうミスをする方がいらっしゃいますので，気を付けるようにして下さい。
本問は平成16年問7からの再出題となります。
1.抵抗，コイル，コンデンサの電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)と電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)の関係
抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，コイル\( \ L \ \mathrm {[H]} \ \)，コンデンサ\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)があり，電源の角周波数\( \ \omega \ \mathrm {[rad / s]} \ \)及び周波数\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)が与えられているとき，それぞれのインピーダンスは，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {R}}&=&R&& \\[ 5pt ]
{\dot Z}_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L&=&\mathrm {j}2\pi f L \\[ 5pt ]
{\dot Z}_{\mathrm {C}}&=&\frac {1}{\mathrm {j}\omega C}&=&\frac {1}{\mathrm {j}2\pi f C} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で求められ，それぞれの電圧と電流の関係は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {R}}&=&R\dot I \\[ 5pt ]
{\dot V}_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L \dot I \\[ 5pt ]
{\dot V}_{\mathrm {C}}&=&\frac {\dot I }{\mathrm {j}\omega C} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。この関係をベクトル図に表すと，図1～図3となります。
2.有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)と無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)
抵抗で消費される電力を有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)，リアクタンスで消費もしくは供給される電力を無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)と呼び，図4のようにベクトル図を描きます。さらに，有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)と無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)のベクトル和は皮相電力\( \ S \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)と呼ばれ，
\[
\begin{eqnarray}
S&=&\sqrt {P^{2}+Q^{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係があります。図4において，力率は\( \ \cos \theta \ \)で定義され，
\[
\begin{eqnarray}
\cos \theta &=&\frac {P}{S} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
また，線路に電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)が流れているとき，皮相電力\( \ S \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)，有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)，無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)は，インピーダンスを\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，抵抗を\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，リアクタンスを\( \ X \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
S &=&ZI^{2} \\[ 5pt ]
P &=&RI^{2} \\[ 5pt ]
Q &=&XI^{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるため，\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ X \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)に関しても電力と同様な図5のような関係を描くことができます。
【解答】
解答：(1)
各部の電圧，電流，インピーダンスを図6のようにおく。
図6の\( \ I_{1} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{1} &=&\frac {V_{\mathrm {C1}}}{X_{1}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {12}{6} \\[ 5pt ]
&=&2 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，\( \ V_{\mathrm {R1}} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {R1}} &=&R_{1}I_{1} \\[ 5pt ]
&=&8\times 2 \\[ 5pt ]
&=&16 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。よって，電源電圧\( \ E \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
E &=&\sqrt {{V_{\mathrm {R1}}}^{2}+{V_{\mathrm {C1}}}^{2}} \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {16^{2}+12^{2}} \\[ 5pt ]
&=&20 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。これより\( \ I_{2} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{2} &=&\frac {E}{\sqrt {{R_{\mathrm {2}}}^{2}+{X_{\mathrm {2}}}^{2}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {20}{\sqrt {4^{2}+3^{2}}} \\[ 5pt ]
&=&4 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるから，回路の抵抗で消費される電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P &=&R_{1}{I_{1}}^{2}+R_{2}{I_{2}}^{2} \\[ 5pt ]
&=&8\times 2^{2}+4\times 4^{2} \\[ 5pt ]
&=&96 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
