【問題】
【難易度】★★★☆☆（普通）
図のような平衡三相回路の負荷において，誘導性リアクタンス\( \ X_{\mathrm {L}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)に流れる電流の大きさを\( \ I_{\mathrm {L}} \ \mathrm {[A]} \ \)，容量性リアクタンス\( \ X_{\mathrm {C}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)に流れる電流の大きさを\( \ I_{\mathrm {C}} \ \mathrm {[A]} \ \)とするとき，次の\( \ \mathrm {(a)} \ \)及び\( \ \mathrm {(b)} \ \)の問に答えよ。
\(\mathrm {(a)} \ \) \( \ X_{\mathrm {L}} \ \)による\( \ \Delta \ \)結線の負荷をこれと等価な\( \ \mathrm {Y} \ \)結線の負荷に変換したとき，変換後の\( \ 1 \ \)相の誘導性リアクタンス\( \ {X_{\mathrm {L}}}^{\prime } \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)に流れる電流\( \ {I_{\mathrm {L}}}^{\prime } \ \mathrm {[A]} \ \)の大きさとして，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) \( \ \displaystyle \frac {1}{\sqrt {3}}I_{\mathrm {L}} \ \) (2) \( \ \displaystyle \frac {1}{\sqrt {2}}I_{\mathrm {L}} \ \) (3) \( \ I_{\mathrm {L}} \ \) (4) \( \ \sqrt {2}I_{\mathrm {L}} \ \) (5) \( \ \sqrt {3}I_{\mathrm {L}} \ \)
\(\mathrm {(b)} \ \) 図の回路において，電流\( \ I_{\mathrm {L}} \ \)と電流\( \ I_{\mathrm {C}} \ \)が\( \ \displaystyle I_{\mathrm {L}}=\frac {2}{\sqrt {3}}I_{\mathrm {C}} \ \)の関係にあるとき，\( \ X_{\mathrm {L}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) \( \ 25 \ \) (2) \( \ 20 \ \) (3) \( \ 15 \ \) (4) \( \ 10 \ \) (5) \( \ 5 \ \)
【ワンポイント解説】
\( \ \Delta \ \)結線の誘導性リアクタンスと\( \ \mathrm {Y} \ \)結線の容量性リアクタンスを含む負荷の演算に関する問題です。
\( \ \Delta -\mathrm {Y} \ \)変換に加え回路演算を含む問題ですが，解法は比較的シンプルでしたので受験生の正答率は比較的高かったことが予想されます。しっかりと内容を理解しておくようにして下さい。
本問は平成13年問11からの再出題となります。
1.抵抗，コイル，コンデンサの電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)と電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)の関係
抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，コイル\( \ L \ \mathrm {[H]} \ \)，コンデンサ\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)があり，電源の角周波数\( \ \omega \ \mathrm {[rad / s]} \ \)及び周波数\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)が与えられているとき，それぞれのインピーダンスは，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {R}}&=&R&& \\[ 5pt ]
{\dot Z}_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L&=&\mathrm {j}2\pi f L \\[ 5pt ]
{\dot Z}_{\mathrm {C}}&=&\frac {1}{\mathrm {j}\omega C}&=&\frac {1}{\mathrm {j}2\pi f C} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で求められ，それぞれの電圧と電流の関係は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {R}}&=&R\dot I \\[ 5pt ]
{\dot V}_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L \dot I \\[ 5pt ]
{\dot V}_{\mathrm {C}}&=&\frac {\dot I }{\mathrm {j}\omega C} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。この関係をベクトル図に表すと，図1～図3となります。
2.有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)と無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)
抵抗で消費される電力を有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)，リアクタンスで消費もしくは供給される電力を無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)と呼び，図4のようにベクトル図を描きます。さらに，有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)と無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)のベクトル和は皮相電力\( \ S \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)と呼ばれ，
\[
\begin{eqnarray}
S&=&\sqrt {P^{2}+Q^{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係があります。図4において，力率は\( \ \cos \theta \ \)で定義され，
\[
\begin{eqnarray}
\cos \theta &=&\frac {P}{S} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
また，線路に電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)が流れているとき，皮相電力\( \ S \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)，有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)，無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)は，インピーダンスを\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，抵抗を\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，リアクタンスを\( \ X \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
S &=&ZI^{2} \\[ 5pt ]
P &=&RI^{2} \\[ 5pt ]
Q &=&XI^{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるため，\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ X \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)に関しても電力と同様な図5のような関係を描くことができます。
3.\( \ \Delta -\mathrm {Y} \ \)変換と\( \ \mathrm {Y}-\Delta \ \)変換
①\( \ \Delta -\mathrm {Y} \ \)変換
図6において，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {a}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {ab}}{\dot Z}_{\mathrm {ca}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ]
{\dot Z}_{\mathrm {b}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {bc}}{\dot Z}_{\mathrm {ab}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ]
{\dot Z}_{\mathrm {c}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {ca}}{\dot Z}_{\mathrm {bc}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
②\( \ \mathrm {Y}-\Delta \ \)変換
図6において，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {ab}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ]
{\dot Z}_{\mathrm {bc}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ]
{\dot Z}_{\mathrm {ca}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {b}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
平衡三相回路においては，
\[
{\dot Z}_{\mathrm {ab}}={\dot Z}_{\mathrm {bc}}={\dot Z}_{\mathrm {ca}}=3{\dot Z}_{\mathrm {a}}=3{\dot Z}_{\mathrm {b}}=3{\dot Z}_{\mathrm {c}}
\]
となります。
4.\( \ \mathrm {Y} \ \)結線における相電圧と線間電圧の関係
図7のような三相対称電源がある時，線間電圧と相電圧の関係は図8のベクトル図のようになり，線間電圧の大きさ\( \ V \ \)は相電圧の大きさ\( \ E \ \)と比較すると，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {ab}} &=&\sqrt {3}E_{\mathrm {a}} \\[ 5pt ]
V_{\mathrm {bc}} &=&\sqrt {3}E_{\mathrm {b}} \\[ 5pt ]
V_{\mathrm {ca}} &=&\sqrt {3}E_{\mathrm {c}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
かつ\( \ \displaystyle \frac {\pi }{6} \)（30°)進みであることが分かります。
5.\( \ \Delta \ \)結線における相電流と線電流の関係
図9のような三相対称電源がある時，線電流と相電流の関係は図10のベクトル図のようになり，線電流の大きさは相電流の大きさと比較すると，
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {a}} &=&\sqrt {3}I_{\mathrm {ab}} \\[ 5pt ]
I_{\mathrm {b}} &=&\sqrt {3}I_{\mathrm {bc}} \\[ 5pt ]
I_{\mathrm {c}} &=&\sqrt {3}I_{\mathrm {ca}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
かつ\( \ \displaystyle \frac {\pi }{6} \)（30°)遅れであることが分かります。
【解答】
(a)解答：(5)
\( \ X_{\mathrm {L}} \ \)を等価な\( \ \mathrm {Y} \ \)結線の負荷に変換すると図11の通りとなる。
ワンポイント解説「4.\( \ \mathrm {Y} \ \)結線における相電圧と線間電圧の関係」及び「5.\( \ \Delta \ \)結線における相電流と線電流の関係」の通り，\( \ {I_{\mathrm {L}}}^{\prime } \ \mathrm {[A]} \ \)は\( \ \Delta \ \)結線における線電流の大きさと等しいので，
\[
\begin{eqnarray}
{I_{\mathrm {L}}}^{\prime } &=&\sqrt {3}I_{\mathrm {L}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(b)解答：(3)
\( \ \mathrm {(a)} \ \)解答より，
\[
\begin{eqnarray}
{I_{\mathrm {L}}}^{\prime } &=&\sqrt {3}I_{\mathrm {L}} \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {3}\times \frac {2}{\sqrt {3}}I_{\mathrm {C}} \\[ 5pt ]
&=&2I_{\mathrm {C}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，\( \ X_{\mathrm {C}}=10 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)と\( \ \displaystyle {X_{\mathrm {L}}}^{\prime }=\frac {X_{\mathrm {L}}}{3} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)での電圧降下が等しいことから，
\[
\begin{eqnarray}
X_{\mathrm {C}}I_{\mathrm {C}} &=&{X_{\mathrm {L}}}^{\prime }{I_{\mathrm {L}}}^{\prime } \\[ 5pt ]
10I_{\mathrm {C}} &=&\frac {X_{\mathrm {L}}}{3}\times 2I_{\mathrm {C}} \\[ 5pt ]
10 &=&\frac {X_{\mathrm {L}}}{3}\times 2 \\[ 5pt ]
X_{\mathrm {L}}&=&\frac {10\times 3}{2} \\[ 5pt ]
&=&15 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
