【問題】
【難易度】★★★★☆（やや難しい）
ある地域の面積が\( \ 6 \ 500 \ \mathrm {km^{2}} \ \)，平均海抜\( \ 750 \ \mathrm {m} \ \)で，この地域の年間降水量を\( \ 1 \ 100 \ \mathrm {mm} \ \)としたとき，この地域全体での理論的包蔵水力（電力量換算値\( \ \mathrm {[TW\cdot h]} \ \)）として最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし，包蔵水力の計算において，その地域の水の流出係数を\( \ 1 \ \)とする。
(1) \( \ 1.7 \ \) (2) \( \ 6.0 \ \) (3) \( \ 30 \ \) (4) \( \ 150 \ \) (5) \( \ 15 \ \)
【ワンポイント解説】
想定される理論的包蔵水力を導出する問題です。
水力発電所の理論水力や流出係数の知識を使用しますが，桁数が大きくなるので，慎重に計算していく必要があります。落ち着いて解いていくようにして下さい。
1.水力発電所の年間平均流量\( \ Q_{\mathrm {av}} \ \left[ \mathrm {m^{3} / s} \right] \ \)
貯水池の流域面積\( \ S \ \left[ \mathrm {km}^{2}\right] \)，年間降水量\( \ h \ \left[ \mathrm {mm}\right] \)，流出係数（年間降った雨のうち発電所に使用する水量の割合）を\( \ K \ \)とすると，１年間で水力発電所で使用される水の量\( \ V \ \left[ \mathrm {m^{3}} \right] \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
V&=&\left( S \times 10^{6} \right) \times \left( h\times 10^{-3} \right) \times K \\[ 5pt ]
&=&ShK \times 10^{3} \ \left[ \mathrm {m^{3}} \right] \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。これより，年間平均流量\( \ Q_{\mathrm {av}} \ \left[ \mathrm {m^{3} / s} \right] \ \)は，\( \ 1 \ \)年は\( \ 365 \ \)日，\( \ 1 \ \)日は\( \ 24 \ \)時間，\( \ 1 \ \)時間は\( \ 60 \ \)分，\( \ 1 \ \)分は\( \ 60 \ \)秒であることを考慮すると，
\[
\begin{eqnarray}
Q_{\mathrm {av}}&=&\frac {V}{365\times 24 \times 60\times 60} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
2.水力発電所の出力\( \ P \ \)
水力発電所の使用水量\( \ Q \ \mathrm {[m^{3} / s]} \ \)，有効落差\( \ H \ \mathrm {[m]} \ \)，水車効率\( \ \eta _{\mathrm {w}} \ \)，発電機効率\( \ \eta _{\mathrm {g}} \ \)とすると，理論水力\( \ P_{0} \ \mathrm {[kW]} \ \)及び発電機出力\( \ P \ \mathrm {[kW]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{0} &=&9.8QH \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ]
P &=&9.8QH\eta _{\mathrm {w}}\eta _{\mathrm {g}} \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で求められます。これは重力加速度\( \ g=9.8 \ \mathrm {[m / s^{2}]} \ \)及び水の密度\( \ \rho =1 \ 000 \ \mathrm {[kg / m^{3}]} \ \)を使用した時の発電機の出力である
\[
\begin{eqnarray}
P &=&\rho gQH\eta _{\mathrm {w}}\eta _{\mathrm {g}} \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
に各値を代入し，
\[
\begin{eqnarray}
P &=&1 \ 000 \times 9.8 QH\eta _{\mathrm {w}}\eta _{\mathrm {g}} \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ]
&=&9.8 QH\eta _{\mathrm {w}}\eta _{\mathrm {g}} \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
として導出したものです。
【解答】
解答：(5)
面積\( \ S=6 \ 500 \ \mathrm {[km^{2}]} \ \)，年間降水量\( \ h=1 \ 100 \ \mathrm {[mm]} \ \)，流出係数\( \ K=1 \ \)なので，地域全体での理論降水量\( \ V \ \left[ \mathrm {m^{3}} \right] \ \)は，ワンポイント解説「1.水力発電所の年間平均流量\( \ Q_{\mathrm {av}} \ \left[ \mathrm {m^{3} / s} \right] \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
V&=&ShK \times 10^{3} \\[ 5pt ]
&=&6 \ 500\times 1 \ 100\times 1 \times 10^{3} \\[ 5pt ]
&=&7.15 \times 10^{9} \ \mathrm {[m^{3}]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，平均海抜\( \ H=750 \ \mathrm {m} \ \)なので，理論水力\( \ P \ \mathrm {[kW]} \ \)は，ワンポイント解説「2.水力発電所の出力\( \ P \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
P &=&9.8QH \\[ 5pt ]
&=&9.8\times \frac {V}{365\times 24 \times 60\times 60}\times H \\[ 5pt ]
&=&9.8\times \frac {7.15 \times 10^{9}}{365\times 24 \times 60\times 60}\times 750 \\[ 5pt ]
&≒&1.666\times 10^{6} \ \mathrm {[kW]} → 1.666 \ \mathrm {[GW]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。したがって，理論的包蔵水力\( \ W \ \mathrm {[TW\cdot h]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
W&=&P\times 24\times 365 \\[ 5pt ]
&=&1.666\times 24\times 365 \\[ 5pt ]
&≒&14 \ 600 \ \mathrm {[GW\cdot h]} → 15.0 \ \mathrm {[TW\cdot h]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
