《機械》〈電動機応用〉[H29:問12]送風機など電動機の負荷の定常特性に関する空欄穴埋問題

【問題】

【難易度】★★★★☆（やや難しい）

次の文章は，送風機など電動機の負荷の定常特性に関する記述である。
電動機の負荷となる機器では，損失などを無視し，電動機の回転数と機器において制御対象となる速度が比例するとすると，速度に対するトルクの代表的な特性が以下に示すように二つある。
一つは，エレベータなどの鉛直方向の移動体で速度に対して\( \ \fbox {　 （ア） 　} \ \)トルク，もう一つは，空気や水などの流体の搬送で速度に対して\( \ \fbox {　 （イ） 　} \ \)トルクとなる特性である。
後者の流量制御の代表的な例は送風機であり，通常はダンパなどを設けて圧損を変化させて流量を制御するのに対し，ダンパなどを設けずに電動機で速度制御することでも流量制御が可能である。このとき，風量は速度に対して\( \ \fbox {　 （ウ） 　} \ \)して変化し，電動機に必要な電力は速度に対して\( \ \fbox {　 （エ） 　} \ \)して変化する特性が得られる。したがって，必要流量に絞って運転する機会の多いシステムでは，電動機で速度制御することで大きな省エネルギー効果が得られる。

上記に記述中の空白箇所(ア)，(イ)，(ウ)及び(エ)に当てはまる組合せとして，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
\[
\begin{array}{ccccc}
& （ア） & （イ） & （ウ） & （エ） \\
\hline
(1) & 　比例する　 & 　2乗に比例する　 & 比例 & 　3乗に比例　 \\
\hline
(2) & 　比例する　 & 一定の & 比例 & 　2乗に比例　 \\
\hline
(3) & 　比例する　 & 一定の & 　2乗に比例　 & 　2乗に比例　 \\
\hline
(4) & 一定の & 　2乗に比例する　 & 比例 & 　3乗に比例　 \\
\hline
(5) & 一定の & 　2乗に比例する　 & 　2乗に比例　 & 　2乗に比例　 \\
\hline
\end{array}
\]

【ワンポイント解説】

どちらかというと電気専門の方よりも機械専門の方が容易に解けそうな内容です。送風機の電力が風量の３乗に比例することは風力発電にも応用できる内容なので，ぜひ覚えておきたいところです。

1.エレベータのトルク
図1のような簡易エレベータを想定し，半径\( \ r \ \)の滑車で質量\( \ m \ \)のエレベータを持ち上げる時のトルク\( \ T \ \)を求める。
重力加速度を\( \ \mathrm {g} \ \)とすると，滑車にかかる力\( \ F \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
F&=&m\mathrm {g} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，滑車にかかるトルク\( \ T \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
T&=&Fr \\[ 5pt ] &=&m\mathrm {g}r \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.送風機の速度，トルク，電力の関係
図2のような送風機を想定する。
断面積\( \ A \ \)のダクトを速度\( \ v \ \)で空気が流れるとき，単位時間あたりに通過する空気量\( \ Q \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Q&=&Av \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。空気の密度を\( \ \rho \ \)とすると，単位時間当たりに通過する空気の質量\( \ m \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
m&=&\rho Q \\[ 5pt ] &=&\rho Av \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，単位時間あたりのエネルギー\( \ E \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
E&=&\frac {1}{2}mv^{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{2}\rho Av^{3} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。単位時間あたりのエネルギーは送風機の消費電力\( \ P \ \)と等しくなります。したがって，
\[
\begin{eqnarray}
P&=&\frac {1}{2}\rho Av^{3} \\[ 5pt ] T&=&\frac {P}{\omega } \\[ 5pt ] &=&\frac {Pr}{v } \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{2}\rho rAv^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，速度の\( \ 2 \ \)乗に比例します。

【解答】

解答：(4)
(ア)
ワンポイント解説「1.エレベータのトルク」の通り，トルクは速度に関係なく一定となります。
(イ)
ワンポイント解説「2.送風機の速度，トルク，電力の関係」の通り，トルクは速度の2乗に比例します。
(ウ)
ワンポイント解説「2.送風機の速度，トルク，電力の関係」の通り，風量は速度に比例します。
(エ)
ワンポイント解説「2.送風機の速度，トルク，電力の関係」の通り，電力は速度の3乗に比例します。