【問題】
【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）
図1は，三相\( \ \mathrm {IGBT} \ \)電圧形インバータを示す。\( \ \mathrm {IGBT} \ \)のスイッチング時サージ電圧及びデッドタイムを無視した理想的なインバータとしたとき，次の問に答えよ。
(1) 図1において，\( \ \mathrm {IGBT} \ \)は\( \ 180^{\circ } \ \)通電の運転をしている。図2は，インバータ出力の相順が，\( \ \mathrm {R → S → T} \ \)のときの\( \ \mathrm {IGBT} \ \)がオンしているタイミングを示す。図中の\( \ \mathrm {B} \ \)から\( \ \mathrm {F} \ \)に当てはまる\( \ \mathrm {IGBT} \ \)を，その記号で示せ。（例えば，\( \ \mathrm {A (S_1)} \ \)）
(2) 図1において，オフしている\( \ \mathrm {IGBT} \ \)に印加される電圧はいくらか。
(3) 直流電源の中間点を零電位とした場合，図3に\( \ \mathrm {R} \ \)相の相電圧を示す。図3を答案用紙に写し取り，これを基に\( \ \mathrm {S} \ \)相の相電圧，\( \ \mathrm {T} \ \)相の相電圧及び\( \ \mathrm {R} \ \)相\( \ – \ \mathrm {S} \ \)相間の線間電圧の波形を，振幅と位相関係が分かるように\( \ 1 \ \)サイクルにわたって示せ。
(4) \( \ \mathrm {R} \ \)相\( \ – \ \mathrm {S} \ \)相間の線間電圧の実効値\( \ V_{\mathrm {R-S(RMS)}} \ \)を\( \ E_{1} \ \)を用いて表せ。
【ワンポイント解説】
三相電圧形インバータに関する問題です。
三相インバータまで学習していることが前提となりますが，基本を理解していれば問題の難易度は高くありません。
計算量も少なく，計算間違いのリスクも低い問題なので，自信があればぜひ積極的に選択したい問題です。
1.平均値と実効値の定義
\( \ f( \theta ) \ \)を周期\( \ T \ \)の周期関数であるとしたとき，平均値と実効値は以下の通りとなります。
①平均値\( \ F_{\mathrm {av}} \ \)
定義式は，
\[
\begin{eqnarray}
F_{\mathrm {av}}&=&\frac {1}{T}\int _{0}^{T}f( \theta ) \mathrm {d}\theta \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であり，これを正弦波\( \ e\left( t \right) =E_{\mathrm {m}}\sin \omega t \ \)に適用すると，
\[
\begin{eqnarray}
E_{\mathrm {av}} &=&\frac {1}{\pi }\int _{0}^{\pi }E_{\mathrm {m}}\sin \omega t \mathrm {d}\omega t \\[ 5pt ]
&=&\frac {E_{\mathrm {m}}}{\pi }\left[ -\cos \omega t \right] _{0}^{\pi } \\[ 5pt ]
&=&\frac {E_{\mathrm {m}}}{\pi }\left[ 1+1 \right] \\[ 5pt ]
&=&\frac {2}{\pi }E_{\mathrm {m}}
\end{eqnarray}
\]
となります。
②実効値\( \ F \ \)
定義式は，
\[
\begin{eqnarray}
F&=&\sqrt {\frac {1}{T} \int _{0}^{T} f( \theta ) ^{2} \mathrm {d}\theta } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であり，これを正弦波\( \ e\left( t \right) =E_{\mathrm {m}}\sin \omega t \ \)に適用すると，
\[
\begin{eqnarray}
E &=&\sqrt {\frac {1}{\pi }\int _{0}^{\pi }{E_{\mathrm {m}}}^{2}\sin ^{2}\omega t \mathrm {d}\omega t} \\[ 5pt ]
&=&E_{\mathrm {m}}\sqrt {\frac {1}{\pi }\int _{0}^{\pi }\frac {1-\cos 2\omega t}{2} \mathrm {d}\omega t} \\[ 5pt ]
&=&E_{\mathrm {m}}\sqrt {\frac {1}{\pi }\left[ \frac {1}{2}\omega t -\frac {1}{4}\sin 2\omega t \right] _{0}^{\pi } } \\[ 5pt ]
&=&E_{\mathrm {m}}\sqrt {\frac {1}{\pi }\left[ \frac {1}{2}\pi -0 -0 +0 \right] _{0}^{\pi } } \\[ 5pt ]
&=&\frac {E_{\mathrm {m}}}{\sqrt {2}}
\end{eqnarray}
\]
となります。
2.三相インバータの動作
三相インバータは直流から交流を得る回路で，図4のような\( \ 6 \ \)つのスイッチで構成されています。
例えば，対応する正負のスイッチを\( \ \displaystyle \frac {2}{3}\pi \ \mathrm {[rad]} \ \)ずつずらしてオンオフ制御すると，図5のように\( \ \displaystyle \frac {2}{3}\pi \ \mathrm {[rad]} \ \)ずつずれた方形波が得られ，線間電圧を取れば図6のようなより正弦波に近い波形が得られます。
このとき，線間電圧の実効値\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
V &=&\sqrt {\frac {1}{\pi }\int _{0}^{\frac {2}{3}\pi }E_{\mathrm {d}}^{2}\mathrm {d}\theta } \\[ 5pt ]
&=&E_{\mathrm {d}}\sqrt {\frac {1}{\pi }\int _{0}^{\frac {2}{3}\pi }1\mathrm {d}\theta } \\[ 5pt ]
&=&E_{\mathrm {d}}\sqrt {\frac {1}{\pi }\left[ \theta \right] _{0}^{\frac {2}{3}\pi }} \\[ 5pt ]
&=&E_{\mathrm {d}}\sqrt {\frac {1}{\pi }\left( \frac {2}{3}\pi -0 \right) } \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {\frac {2}{3}}E_{\mathrm {d}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
【解答】
(1)図2の\( \ \mathrm {B} \ \)から\( \ \mathrm {F} \ \)に当てはまる\( \ \mathrm {IGBT} \ \)
ワンポイント解説「2.三相インバータの動作」図5の通り，
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {B}& : &\mathrm {S}_{6} （ \ \mathrm {T} \ 相が \ -\frac {E_{1}}{2} \ に切り替わる） \\[ 5pt ]
\mathrm {C}& : &\mathrm {S}_{2} （ \ \mathrm {S} \ 相が \ \frac {E_{1}}{2} \ に切り替わる） \\[ 5pt ]
\mathrm {D}& : &\mathrm {S}_{4} （ \ \mathrm {R} \ 相が \ -\frac {E_{1}}{2} \ に切り替わる） \\[ 5pt ]
\mathrm {E}& : &\mathrm {S}_{3} （ \ \mathrm {T} \ 相が \ \frac {E_{1}}{2} \ に切り替わる） \\[ 5pt ]
\mathrm {F}& : &\mathrm {S}_{5} （ \ \mathrm {S} \ 相が \ -\frac {E_{1}}{2} \ に切り替わる） \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(2)図1において，オフしている\( \ \mathrm {IGBT} \ \)に印加される電圧
上下アームのうち一方がオンのとき、他方のオフしている\( \ \mathrm {IGBT} \ \)の両端には直流電圧が加わるので，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {E_{1}}{2}-\left( -\frac {E_{1}}{2}\right) &=& E_{1} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(3)\( \ \mathrm {S} \ \)相，\( \ \mathrm {T} \ \)相の相電圧及び\( \ \mathrm {R} \ \)相\( \ – \ \mathrm {S} \ \)相間の線間電圧の波形
ワンポイント解説「2.三相インバータの動作」と同様に各波形を描くと図7のようになる。
(4)\( \ \mathrm {R} \ \)相\( \ – \ \mathrm {S} \ \)相間の線間電圧の実効値\( \ V_{\mathrm {R-S(RMS)}} \ \)
図7より，\( \ \mathrm {R} \ \)相\( \ – \ \mathrm {S} \ \)相間の線間電圧の実効値\( \ V_{\mathrm {R-S(RMS)}} \ \)は，ワンポイント解説「2.三相インバータの動作」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {R-S(RMS)}} &=&\sqrt {\frac {1}{\pi }\int _{0}^{\frac {2}{3}\pi }E_{1}^{2}\mathrm {d}\theta } \\[ 5pt ]
&=&E_{1}\sqrt {\frac {1}{\pi }\int _{0}^{\frac {2}{3}\pi }1\mathrm {d}\theta } \\[ 5pt ]
&=&E_{1}\sqrt {\frac {1}{\pi }\left[ \theta \right] _{0}^{\frac {2}{3}\pi }} \\[ 5pt ]
&=&E_{1}\sqrt {\frac {1}{\pi }\left( \frac {2}{3}\pi -0 \right) } \\[ 5pt ]
&=&\sqrt {\frac {2}{3}}E_{1} \\[ 5pt ]
&≒&0.816E_{1} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん