《電力・管理》〈水力〉[H25:問1] 水力発電所の年間発電量及び設備利用率に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆(普通)

①式~③式の直線近似式で表される図1の流況曲線の河川に,最大取水量\( \ 100 \ \mathrm {[m^{3}/s]} \ \),最小取水量\( \ 15 \ \mathrm {[m^{3}/s]} \ \),有効落差\( \ 50 \ \mathrm {[m]} \ \)の自流式(流込み式)水力発電所を設置する場合の年間発電電力量\( \ \mathrm {[kW\cdot h]} \ \)と年間設備利用率\( \ \mathrm {[%]} \ \)を,(1)~(4)の手順に沿って求めよ。

なお,水車・発電機の総合効率\( \ \eta \ \mathrm {[%]} \ \)は,計算の簡便上,取水量の二次式ではなく,図2のような④式及び⑤式の直線近似式によって終日連続運転するものとする。また,年間を通じて,終日\( \ 5 \ \mathrm {[m^{3}/s]} \ \)の河川維持流量を確保するものとする。

ここで,\( \ 1 \ \)年間は\( \ 365 \ \mathrm {[日]} \ \),水の密度\( \ \rho \ \)は\( \ 1000 \ \mathrm {[kg/m^{3}]} \ \),重力加速度\( \ \mathit {g} \ \mathrm {[m/s^{2}]} \ \)は\( \ 9.8 \ \mathrm {[m/s^{2}]} \ \)とする。

河川流量\( \ Q \ \mathrm {[m^{3}/s]} \ \)は,日数\( \ t \ \mathrm {[日]} \ \)の関数とし,
\[
\begin{eqnarray}
0&≦t<&45&のとき&:Q&=&-4.3t+298.5 & ・・・・・・・・・①& \\[ 5pt ] 45&≦t<&125&のとき&:Q&=&-0.5t+127.5 & ・・・・・・・・・②& \\[ 5pt ] 125&≦t≦&365&のとき&:Q&=&-0.2t+90 & ・・・・・・・・・③& \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] 総合効率\( \ \eta \ \mathrm {[%]} \ \)は,取水量\( \ q_{\mathrm {v}} \ \mathrm {[m^{3}/s]} \ \)の関数とし,
\[
\begin{eqnarray}
15&≦t<&60&のとき&:\eta &=&2q_{\mathrm {v}}-30 & ・・・・・・・・・④& \\[ 5pt ] 60&≦t≦&100&のとき&:\eta &=&90 & ・・・・・・・・・⑤& \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

(1) 最大取水量を確保して最大出力で発電できる日数と,最小取水量を確保して発電できる日数をそれぞれ求めよ。

(2) 最大取水量で発電できる期間の累計発煙電力量\( \ \mathrm {[kW\cdot h]} \ \)を求めよ。

(3) 最大取水量未満での累計発電電力量\( \ \mathrm {[kW\cdot h]} \ \)を求めよ。

(4) この発電所の年間発電電力量\( \ \mathrm {[kW\cdot h]} \ \)と,年間設備利用率\( \ \mathrm {[%]} \ \)をそれぞれ求めよ。


【ワンポイント解説】

難易度は1種としてはあまり高くないですが,桁数が大きくなり難しいので,計算間違いに注意が必要な問題となります。どういう場合に最大出力になり,どういう場合に最小出力となるかよく考え,計算間違いに注意しながら解くようにしましょう。

1.水車の理論出力\( \ P \ \)
流量が\( \ Q \ \mathrm {[m^{3} / s]} \ \),有効落差が\( \ H \ \mathrm {[m]} \ \),水の密度が\( \ \rho =1000 \ \mathrm {[kg / m^{3}]} \ \),重力加速度が\( \ g=9.8 \ \mathrm {[m / s^{2}]} \ \),水車・発電機の総合効率を\( \ \eta \ \)であるとすると,水車の理論出力\( \ P \ \mathrm {[kW]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
P &=& \rho gQH\eta \\[ 5pt ] &=& 9.8QH\eta \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められます。

【解答】

(1)最大取水量を確保して最大出力で発電できる日数と,最小取水量を確保して発電できる日数
図1より,最大取水量すなわち\( \ 100 \ \mathrm {[m^{3}/s]} \ \)を確保して最大出力で発電できるのは,終日\( \ 5 \ \mathrm {[m^{3}/s]} \ \)の河川維持流量を確保するため,河川流量\( \ Q \ \mathrm {[m^{3}/s]} \ \)が\( \ 105 \ \mathrm {[m^{3}/s]} \ \)以上の時である。これを①及び②に代入すると,
\[
\begin{eqnarray}
105&=&-4.3t+298.5 \\[ 5pt ] t&=&45 \ \mathrm {[日]} (範囲外) \\[ 5pt ] 105&=&-0.5t+127.5 \\[ 5pt ] t&=&45 \ \mathrm {[日]} (範囲内) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので最大取水量を確保して最大出力で発電できる日数は,\( \ 45 \ 日 \ \)である。
一方最小取水量すなわち\( \ 15 \ \mathrm {[m^{3}/s]} \ \)を確保して最大出力で発電できるのは,終日\( \ 5 \ \mathrm {[m^{3}/s]} \ \)の河川維持流量を確保するため,河川流量\( \ Q \ \mathrm {[m^{3}/s]} \ \)が\( \ 20 \ \mathrm {[m^{3}/s]} \ \)以上の時である。これを③に代入すると,
\[
\begin{eqnarray}
20&=&-0.2t+90 \\[ 5pt ] t&=&350 \ \mathrm {[日]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので最小取水量を確保して発電できる日数は,\( \ 350 \ 日 \ \)である。

(2)最大取水量で発電できる期間の累計発煙電力量\( \ \mathrm {[kW\cdot h]} \ \)
最大取水量で発電できる発電電力\( \ P_{1} \ \mathrm {[kW]} \ \)は,ワンポイント解説「1.水車の理論出力\( \ P \ \)」の通り,
\[
\begin{eqnarray}
P_{1}&=&9.8QH\eta \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められる。ここで,有効落差\( \ H=50 \ \mathrm {[m]} \ \)であり,図2より,\( \ \eta =0.9 \ \)であるから,
\[
\begin{eqnarray}
P_{1}&=&9.8\times 100 \times 50 \times 0.9 \\[ 5pt ] &=&44 \ 100 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。(1)より,最大取水量を確保して最大出力で発電できる日数は,\( \ 45 \ 日 \ \)なので,最大取水量で発電できる期間の累計発煙電力量\( \ W_{1} \ \mathrm {[kW\cdot h]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
W_{1}&=&P_{1}\times 24\times 45 \\[ 5pt ] &=&44 \ 100\times 24\times 45 \\[ 5pt ] &=&47 \ 628 \ 000 → 47 \ 600 \ 000 \ \mathrm {[kW\cdot h]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)最大取水量未満での累計発電電力量\( \ \mathrm {[kW\cdot h]} \ \)
最大取水量未満での累計発電電力量として求めるのは(1)より,\( \ 45≦t≦350 \ \)の範囲である。
ここで,総合効率が④のように流量に比例する関数が適用されるのは,取水量が\( \ 60 \ \mathrm {[m^{3}/s]} \ \)未満の時であるので,\( \ Q=65 \ \)を③に代入すると,
\[
\begin{eqnarray}
65&=&-0.2t+90 \\[ 5pt ] t&=&125 \ \mathrm {[日]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。したがって,今回の計算では,\( \ 45≦t<125 \ \)の時及び\( \ 125≦t≦350 \ \)の時の計算を分けて考える。\( \ 45≦t<125 \ \)の時\( \ \eta =0.9 \ \)であるから,発電できる発電電力\( \ P_{2} \ \mathrm {[kW]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
P_{2}&=& 9.8QH\eta \\[ 5pt ] &=&9.8\times \left( -0.5t+127.5-5 \right) \times 50 \times 0.9 \\[ 5pt ] &=&-220.5t +54022.5 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので,この期間の発電電力量\( \ W_{2} \ \mathrm {[kW\cdot h]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
W_{2}&=&\int _{45}^{125}P_{2}\times 24 \ \mathrm {d}t \\[ 5pt ] &=&\int _{45}^{125}-5292t +1296528 \ \mathrm {d}t \\[ 5pt ] &=&\left[ -2646t^{2} +1296528t\right] _{45}^{125} \\[ 5pt ] &=&\left[ -41 \ 343 \ 750 +162 \ 066 \ 000+5 \ 358 \ 150-58 \ 343 \ 760\right] \\[ 5pt ] &=&67 \ 736 \ 640 \ \mathrm {[kW\cdot h]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。次に,\( \ 125≦t≦350 \ \)の時,発電できる発電電力\( \ P_{3} \ \mathrm {[kW]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
P_{3}&=& 9.8QH\eta \\[ 5pt ] &=&9.8\times \left( -0.2t+90-5 \right) \times 50 \times \frac {2Q-30}{100} \\[ 5pt ] &=&9.8\times \left( -0.2t+90-5 \right) \times 50 \times \frac {2\left( -0.2t+90-5 \right) -30}{100} \\[ 5pt ] &=&4.9 \left( 0.08t^{2}-62t+11900 \right) \\[ 5pt ] &=&0.392t^{2}-303.8t +58310 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので,この期間の発電電力量\( \ W_{3} \ \mathrm {[kW\cdot h]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
W_{3}&=&\int _{125}^{350}P_{3}\times 24 \ \mathrm {d}t \\[ 5pt ] &=&\int _{125}^{350}9.408t^{2}-7291.2t +1399440 \ \mathrm {d}t \\[ 5pt ] &=&\left[ 3.136t^{3}-3645.6t^{2} +1399440t\right] _{125}^{350} \\[ 5pt ] &=&\left[ 134 \ 456 \ 000-446 \ 586 \ 000+489 \ 804 \ 000-6 \ 125 \ 000+56 \ 962 \ 500-174 \ 930 \ 000\right] \\[ 5pt ] &=&53 \ 581 \ 500 \ \mathrm {[kW\cdot h]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。したがって,最大取水量未満での累計発電電力量は,
\[
\begin{eqnarray}
W_{2}+W_{3}&=&67 \ 736 \ 640+53 \ 581 \ 500 \\[ 5pt ] &=&121 \ 318 \ 140 → 121 \ 000 \ 000 \ \mathrm {[kW\cdot h]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)年間発電電力量\( \ \mathrm {[kW\cdot h]} \ \)と年間設備利用率\( \ \mathrm {[%]} \ \)
(2),(3)より年間発電電力量\( \ W_{4} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
W_{4}&=&W_{1}+W_{2}+W_{3} \\[ 5pt ] &=&47 \ 628 \ 000+121 \ 318 \ 140 \\[ 5pt ] &=&168 \ 946 \ 140 → 169 \ 000 \ 000 \ \mathrm {[kW\cdot h]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。水力発電所が年間で発電可能な発電電力量\( \ W_{5} \ \)は,最大電力で365日運転した時の電力量であるから,
\[
\begin{eqnarray}
W_{5}&=&P_{1}\times 24\times 365 \\[ 5pt ] &=&44 \ 100\times 24\times 365 \\[ 5pt ] &=&386 \ 316 \ 000 \ \mathrm {[kW\cdot h]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから,設備利用率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\eta _{\mathrm {m}}&=&\frac {W_{4}}{W_{5}}\times 100 \\[ 5pt ] &=&\frac {168 \ 946 \ 140}{386 \ 316 \ 000}\times 100 \\[ 5pt ] &≒&43.733 → 43.7 \ \mathrm {[%]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。



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