《理論》〈電子理論〉[H18:問7]演算増幅器を用いた回路に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

次の文章は，演算増幅器を用いた回路に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる語句又は式を解答群の中から選び，その記号を記述用紙の解答欄に記入しなさい。ただし，演算増幅器の電圧増幅度（差動利得）は周波数に無関係に無限大であり，また，入力インピーダンスも無限大であるとし，すべての抵抗の値は等しく，\( \ R_{1}=R_{2}=R_{3}=R \ \)とする。なお，入力信号源\( \ v_{1} \ \)は角周波数\( \ \omega \ \)の正弦波電圧源である。

図の回路において，演算増幅器の入力端子には電流が流れないから，非反転入力端子の電圧\( \ v_{a} \ \)は\( \ \fbox {　 （１） 　} \ \times v_{1} \ \)である。演算増幅器の二つの入力端子の電圧は等しいから，抵抗\( \ R_{2} \ \)を流れる電流\( \ i \ \)は\( \ \fbox {　 （２） 　} \ \times v_{1} \ \)となる。この電流はすべて抵抗\( \ R_{3} \ \)を流れるから，電圧増幅度\( \ \displaystyle \frac {v_{2}}{v_{1}} \ \)は\( \ \fbox {　 （３） 　} \ \)と求められる。ここで，入力信号の周波数を\( \ 0 \ \)（直流）から無限大まで変化させて，電圧増幅度の変化を調べると，電圧増幅度の絶対値は，\( \ \fbox {　 （４） 　} \ \)になる。また，電圧増幅度の位相は，\( \ \fbox {　 （５） 　} \ \)変化する。

〔問7の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　-\frac {1}{1+j\omega CR}　　　　　&（ロ）&　\frac {1}{R\left( 1+j\omega CR\right) }　　　　　&（ハ）&　\frac {1}{1+j\omega CR} \\[ 5pt ] &（ニ）&　1.0 \ から減少して \ 0　　　　　&（ホ）&　1+j\omega CR　　　　　&（ヘ）&　\frac {1+j\omega CR}{R} \\[ 5pt ] &（ト）&　\frac {j\omega C}{1+j\omega CR}　　　　　&（チ）&　1.0 \ から増加して無限大　　　　　&（リ）&　\frac {1-j\omega CR}{1+j\omega CR} \\[ 5pt ] &（ヌ）&　0^{\circ} \ から \ -180^{\circ} \ まで　　　　　&（ル）&　\frac {j\omega CR}{1+j\omega CR} 　　　　　&（ヲ）&　-\left( 1+j\omega CR\right) \\[ 5pt ] &（ワ）&　周波数に無関係に \ 1.0　　　　　&（カ）&　0^{\circ} \ から \ -90^{\circ} \ まで　　　　　&（ヨ）&　0^{\circ} \ から \ 90^{\circ} \ まで \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

演算増幅器を用いた回路演算に関する問題です。
(5)が少し思考力を問う数学の内容となりますが，(4)までは確実に正答しておきたい問題となります。
ある程度パターンも決まっているため，合格のためには(4)までを得点できるようにしましょう。

1.理想的な演算増幅器の特徴
電験で出題される理想的な演算増幅器は以下のような特徴があります。
　１．電圧増幅率が無限大である。したがって，無限大でない有限数が出力される時，入力端子間の電圧は\( \ 0 \ \mathrm {V} \ \)（バーチャルショート）となる。
　２．入力インピーダンスが無限大である。したがって入力端子に電流は流れない。
　３．出力インピーダンスがゼロである。

【解答】

(1)解答：ハ
題意の通り，演算増幅器の入力端子には電流が流れないので，図2に示す閉回路に分圧の法則を適用すると，
\[
\begin{eqnarray}
v_{a} &=& \frac {\displaystyle \frac {1}{j\omega C}}{\displaystyle \frac {1}{j\omega C}+R_{1}} v_{1} \\[ 5pt ] &=& \frac {\displaystyle \frac {1}{j\omega C}}{\displaystyle \frac {1}{j\omega C}+R} v_{1} \\[ 5pt ] &=& \frac {1}{1+j\omega CR}v_{1} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答：ト
題意の通り，演算増幅器の二つの入力端子の電圧は等しいので，
\[
\begin{eqnarray}
v_{b} &=& v_{a}=\frac {1}{1+j\omega CR}v_{1} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるから，抵抗\( \ R_{2} \ \)を流れる電流\( \ i \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
i &=& \frac {v_{1}-v_{b}}{R_{2}} \\[ 5pt ] &=& \frac {v_{1}-v_{b}}{R} \\[ 5pt ] &=& \frac {\displaystyle v_{1}-\frac {1}{1+j\omega CR}v_{1} }{R} \\[ 5pt ] &=& \frac {\displaystyle \frac {1+j\omega CR-1}{1+j\omega CR}v_{1} }{R} \\[ 5pt ] &=& \frac {\displaystyle \frac {j\omega CR}{1+j\omega CR}v_{1} }{R} \\[ 5pt ] &=& \frac {j\omega C}{1+j\omega CR}v_{1} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：リ
図3に示すように，電流\( \ i \ \)はすべて抵抗\( \ R_{3} \ \)を流れるから\( \ v_{2} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
v_{2} &=& v_{b}-R_{3}i \\[ 5pt ] &=& v_{b}-Ri \\[ 5pt ] &=& \frac {1}{1+j\omega CR}v_{1}-R\cdot \frac {j\omega C}{1+j\omega CR}v_{1} \\[ 5pt ] &=& \frac {1-j\omega CR}{1+j\omega CR}v_{1} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，電圧増幅度\( \ \displaystyle \frac {v_{2}}{v_{1}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {v_{2}}{v_{1}}&=& \frac {1-j\omega CR}{1+j\omega CR} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：ワ
電圧増幅度の絶対値\( \ \displaystyle \left| \frac {v_{2}}{v_{1}}\right| \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\left| \frac {v_{2}}{v_{1}}\right| &=& \frac {\sqrt {1+\left( \omega CR\right) ^{2}}}{\sqrt {1+\left( \omega CR\right) ^{2}}} \\[ 5pt ] &=& 1 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，周波数に無関係に\( \ 1.0 \ \)となる。

(5)解答：ヌ
(3)解答式を変形すると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {v_{2}}{v_{1}}&=& \frac {1-j\omega CR}{1+j\omega CR}\times \frac {1-j\omega CR}{1-j\omega CR} \\[ 5pt ] &=& \frac {1-\left( \omega CR\right) ^{2}-j2\omega CR}{1+\left( \omega CR\right) ^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，周波数が増加するとともに極座標上を右回転していくことがわかる。また，周波数が十分に小さいすなわち\( \ \omega \ \)が十分に小さいとき，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {v_{2}}{v_{1}}&≃& \frac {1-j2\omega CR}{1} \\[ 5pt ] &≒& 1 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，周波数が十分に大きいすなわち\( \ \omega \ \)が十分に大きいとき，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {v_{2}}{v_{1}}&≃& \frac {-\left( \omega CR\right) ^{2}-j2\omega CR}{\left( \omega CR\right) ^{2}} \\[ 5pt ] &=& -1-j\frac {2}{\omega CR} \\[ 5pt ] &≒& -1 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるため，位相は\( \ 0^{\circ} \ \)から\( \ -180^{\circ} \ \)まで変化することとなる。