《理論》〈電気回路〉[H18:問2]単層円筒形ソレノイドコイルに関する計算問題

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

次の文章は，単層円筒形ソレノイドコイルの電流と磁界に関する記述である。文中の$ \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる式又は数値を解答群の中から選び，その記号をマークシートに記入しなさい。

真空中に，図1のような単位長さ当たり$ \ n \ $巻きしてある単層円筒形ソレノイドコイルがある。これに電流$ \ I \ $が流れているとき，ソレノイドコイルの端面中心の点$ \ \mathrm {P} \ $における磁束密度をビオ・サバールの法則を用いて求めてみよう。ただし，コイルの漏れ磁束はないものとし，真空の透磁率を$ \ \mu _{0} \ $とする。

まず，図2のような半径$ \ r \ $の円形単一コイルに電流$ \ I \ $が点$ \ \mathrm {P}_{0} \ $から見て反時計方向に流れているとする。コイル中心軸上でコイルの中心から距離$ \ d \ $の点$ \ \mathrm {P}_{0} \ $の磁束密度の方向はビオ・サバールの法則により中心軸方向に一致する。それは次の理由による。

電流$ \ I \ $の流れる微小長さ$ \ \mathrm {d}s \ $の部分によって点$ \ \mathrm {P}_{0} \ $に生じる磁束密度$ \ \mathrm {d}B \ $の方向は，点$ \ \mathrm {P}_{0} \ $と$ \ \mathrm {d}s \ $とを含む面に垂直である。電流の向きと$ \ \mathrm {d}s \ $から点$ \ \mathrm {P}_{0} \ $への向きとの間の角が$ \ \fbox {　（１）　} \ $であることに注意して，その大きさは
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {d}B &=& \fbox {　（２）　} \ 　・・・・・・・・・・　① \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] である。$ \ \mathrm {d}B \ $のコイルの中心軸に直角な方向の成分は$ \ \mathrm {d}s \ $の位置によってその向きが変わるが，コイルの全円周を考えると，その総和は零になる。一方，中心軸方向成分は$ \ ① \ $式の$ \ \displaystyle \frac {r}{\sqrt {d^{2}+r^{2}}} \ $倍で，常に同一方向であるから，点$ \ \mathrm {P}_{0} \ $の磁束密度の方向は中心軸方向に一致する。

以上のことより，点$ \ \mathrm {P}_{0} \ $での磁束密度$ \ B_{0} \ $はコイルの全円周を考えると
\[
\begin{eqnarray}
B_{0} &=& \fbox {　（３）　} \ 　・・・・・・・・・・　② \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。そこで図1について$ \ ② \ $式を用いて計算する。図1の微小長さ$ \ \mathrm {d}x \ $のコイル部分は$ \ \fbox {　（４）　} \ $なる電流が流れる$ \ 1 \ $巻きの円形コイルに等価である。したがって，$ \ \mathrm {P} \ $点の合成磁束密度$ \ B \ $は$ \ x \ $について$ \ 0 \ $から$ \ L \ $まで積分すれば
\[
\begin{eqnarray}
B &=& \int _{0}^{L} \ \fbox {　（５）　} \ \mathrm {d}x　・・・・・・・・・・　③ \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。$ \ ③ \ $式より，$ \ B \ $は$ \ \displaystyle \frac {\mu _{0}nIL}{2\sqrt {L^{2}+r^{2}}} \ $と計算される。

〔問2の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　\frac {\mu _{0}nr^{2}I}{2\left( x^{2}+r^{2}\right) ^{\frac {3}{2}}}　　　　　&（ロ）&　60^{\circ }　　　　　&（ハ）&　\frac {\mu _{0}r^{2}I}{4\left( d^{2}+r^{2}\right) } \\[ 5pt ] &（ニ）&　\frac {\mu _{0}I\mathrm {d}s}{4\pi \left( d^{2}+r^{2}\right) }　　　　　　　&（ホ）&　2\pi rnI　　　　　&（ヘ）&　90^{\circ } \\[ 5pt ] &（ト）&　\frac {\mu _{0}nr^{2}I}{4\left( x^{2}+r^{2}\right) }　　　　　&（チ）&　\frac {\mu _{0}r^{3}I}{4\left( d^{2}+r^{2}\right) }　　　　　　　&（リ）&　\frac {\mu _{0}rI\mathrm {d}s}{4\pi \sqrt { d^{2}+r^{2} } } \\[ 5pt ] &（ヌ）&　nI\mathrm {d}x　　　　　&（ル）&　\frac {\mu _{0}r^{2}I}{2\left( d^{2}+r^{2}\right) ^{\frac {3}{2}}}　　　　　　&（ヲ）&　30^{\circ } \\[ 5pt ] &（ワ）&　\frac {\mu _{0}I\mathrm {d}s\cos 60^{\circ }}{4\pi \sqrt { d^{2}+r^{2} } }　　　　　&（カ）&　I\mathrm {d}x　　　　　　&（ヨ）&　\frac {\mu _{0}nr^{3}I}{4\left( x^{2}+r^{2}\right) } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

単層円筒形ソレノイドコイルの電流と磁界を求める問題です。
ビオ・サバールの法則の考え方や積分の考え方等，電磁気学の原理を理解する上ではとても良い良問と思います。ぜひ内容を理解するようにしましょう。

1.ビオ・サバールの法則
図3に示すように，微小な長さ$ \ \mathrm {d} l \ \mathrm {[m]} \ $に流れる電流$ \ I \ \mathrm {[A]} \ $が，距離$ \ r \ \mathrm {[m]} \ $離れた場所に作る磁界$ \ \mathrm {d} H \ \mathrm {[A / m]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {d} H&=&\frac {I \mathrm {d} l}{4\pi r^{2}}\sin \theta \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.円形コイルが中心点に作る磁界の大きさ
ビオ・サバールの法則を図4のような円形コイルに適用すると，コイルの長さが$ \ 2 \pi r \ $であり，中心点$ \ \mathrm {O} \ $から見た微小電流の角度$ \ \theta \ $は常に$ \ 90^{\circ } \ $であるから，
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {d}H&=&\frac {I \mathrm {d}l}{4\pi r^{2}}\sin 90^{\circ } \\[ 5pt ] &=&\frac {I \mathrm {d}l}{4\pi r^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，両辺積分すると，
\[
\begin{eqnarray}
H&=&\frac {I }{4\pi r^{2}}\sin 90^{\circ } \times 2\pi r \\[ 5pt ] &=&\frac {I}{2r} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。（この結果は公式として覚えておきましょう。）

【解答】

(1)解答：ヘ
電流の向きと$ \ \mathrm {d}s \ $から点$ \ \mathrm {P}_{0} \ $への向きを考えると図5のようになり，なす角は$ \ 90^{\circ } \ $となることがわかる。

(2)解答：ニ
$ \ \mathrm {d}s \ $から点$ \ \mathrm {P}_{0} \ $までの距離$ \ l \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
l&=&\sqrt {d^{2}+r^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] なので，電流$ \ I\mathrm {d} s \ $が作る磁界$ \ \mathrm {d} H \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {d} H&=&\frac {I \mathrm {d} s}{4\pi l^{2}}\sin 90^{\circ } \\[ 5pt ] &=&\frac {I \mathrm {d} s}{4\pi \left( d^{2}+r^{2}\right) } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，磁束密度$ \ \mathrm {d} B \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {d} B&=&\mu _{0}\mathrm {d} H \\[ 5pt ] &=&\frac {\mu _{0}I\mathrm {d}s}{4\pi \left( d^{2}+r^{2}\right) } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：ル
題意より，$ \ I\mathrm {d} s \ $による磁束密度の中心軸方向成分$ \ \mathrm {d} B_{0} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {d} B_{0}&=&\frac {r}{\sqrt {d^{2}+r^{2}}}\mathrm {d} B \\[ 5pt ] &=&\frac {r}{\sqrt {d^{2}+r^{2}}}\cdot \frac {\mu _{0}I\mathrm {d}s}{4\pi \left( d^{2}+r^{2}\right) } \\[ 5pt ] &=& \frac {\mu _{0}rI\mathrm {d}s}{4\pi \left( d^{2}+r^{2}\right) ^{\frac {3}{2}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，コイルの全円周を積分すると，点$ \ \mathrm {P}_{0} \ $での磁束密度$ \ B_{0} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
B_{0}&=&\frac {\mu _{0}rI\times 2\pi r}{4\pi \left( d^{2}+r^{2}\right) ^{\frac {3}{2}}} \\[ 5pt ] &=& \frac {\mu _{0}r^{2}I}{2\left( d^{2}+r^{2}\right) ^{\frac {3}{2}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：ヌ
単位長さ当たり$ \ n \ $巻きなので，単位長さあたりのソレノイドが磁界に影響与える電流の大きさは$ \ nI \ $となるので，微小長さ$ \ \mathrm {d}x \ $のコイル部分は$ \ nI\mathrm {d}x \ $なる電流が流れる$ \ 1 \ $巻きの円形コイルに等価となります。

(5)解答：イ
$ \ \mathrm {P} \ $点の$ \ nI\mathrm {d}x \ $による磁束$ \ \mathrm {d}B \ $は，(3)解答式の$ \ I \ $を$ \ nI\mathrm {d}x \ $，$ \ d \ $を$ \ x \ $とすれば良いので，
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {d} B&=& \frac {\mu _{0}r^{2}nI\mathrm {d}x}{2 \left( x^{2}+r^{2}\right) ^{\frac {3}{2}}} \\[ 5pt ] &=& \frac {\mu _{0}nr^{2}I}{2 \left( x^{2}+r^{2}\right) ^{\frac {3}{2}}}\mathrm {d}x \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，合成磁束密度$ \ B \ $は，$ \ 0 \ $から$ \ L \ $まで積分すれば，
\[
\begin{eqnarray}
B &=& \int _{0}^{L} \frac {\mu _{0}nr^{2}I}{2\left( x^{2}+r^{2}\right) ^{\frac {3}{2}}}\mathrm {d}x \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。