《理論》〈電子理論〉[H28:問4] 電界内の電子の動きに関する計算問題

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★☆☆☆☆（易しい）

次の文章は，電界内の電子の動きに関する記述である。文中の$ \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。なお，電子の質量を$m_{\mathrm {0}}$，電荷量を$ \ -e \ $とする。ただし，電子の速度は電子の質量$ \ m_{\mathrm {0}} \ $が変化しない範囲とする。

図のように，真空中に置かれた，上側に$ \ \displaystyle +\frac {V}{2} \ $，下側に$ \ \displaystyle -\frac {V}{2} \ $の電圧を印加した平行二枚板電極がある。その間隔は$ \ D \ $である。この平行二枚板電極間の中央に，横方向から$ \ x \ $方向の速度$ \ v_{\mathrm {x}} \ $のみの速度をもつ電子を入射したところ，図のように平行二枚板電極間を通過した。平行二枚板電極間の電界は端部においても一様とすると，平行二枚板電極間を通過する時間$ \ t_{\mathrm {1}} \ $の間だけ，一定電界により上側( $ \ y \ $方向 )　への力$ \ \fbox {　（１）　} \ $を受ける。このときの電子の加速度は$ \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}^{2}y}{\mathrm {d}t^{2}} \ $であるから，電子の$ \ y \ $方向に関する運動方程式を立てれば，$ \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}^{2}y}{\mathrm {d}t^{2}}=\fbox {　（２）　} \ $で表せる微分方程式が得られる。平衡二枚電極間を通り過ぎた直後の$ \ y \ $方向の変位を$ \ \Delta d \ $，$ \ y \ $方向の速度を$ \ v_{\mathrm {y}} \ $とすると，$ \ y \ $方向の初期速度が零であることに注意して，時間$ \ t_{\mathrm {1}} \ $と変位$ \ \Delta d \ $の間には$ \ \Delta d=\fbox {　（３）　} \ $の関係があり，同様に$ \ v_{\mathrm {y}} \ $を$ \ t_{\mathrm {1}} \ $を用いて表してから$ \ \Delta d \ $の式を用いて$ \ t_{\mathrm {1}} \ $を消去すると，$ \ v_{\mathrm {y}}=\fbox {　（４）　} \ $が得られる。
このあと，電子は等速度で運動し続けるので，平行二枚板電極間から$ \ x \ $方向に$ \ L \ $だけ離れた位置の$ \ yz \ $平面にスクリーンを置くと，平行二枚板電極間を通り過ぎた後からスクリーンにたどり着くまでの$ \ y \ $方向への変位は$ \ \fbox {　（５）　} \ $である。

〔問4の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　\sqrt {\frac {2eV}{m_{\mathrm {0}}}}　　　　　&（ロ）&　\frac {eVt_{\mathrm {1}}^{2}}{2m_{\mathrm {0}}D}　　　　　&（ハ）&　\frac {eVt_{\mathrm {1}}^{2}}{m_{\mathrm {0}}D}　 \\[ 5pt ] &（ニ）&　\frac {v_{\mathrm {x}}}{v_{\mathrm {y}}}L　　　　　&（ホ）&　\frac {eVD}{m_{\mathrm {0}}}　　　　　&（ヘ）&　eVD \\[ 5pt ] &（ト）&　\sqrt {\frac {2eV\Delta d}{m_{\mathrm {0}}D}}　　　　　&（チ）&　\frac {eV}{m_{\mathrm {0}}}　　　　　&（リ）&　\frac {v_{\mathrm {y}}}{v_{\mathrm {x}}}L \\[ 5pt ] &（ヌ）&　eV　　　　　&（ル）&　\frac {eV}{m_{\mathrm {0}}D}　　　　　&（ヲ）&　\sqrt {\frac {2eV}{m_{\mathrm {0}}}}\frac {L}{v_{\mathrm {x}}} \\[ 5pt ] &（ワ）&　\frac {eVt_{\mathrm {1}}}{m_{\mathrm {0}}D}　　　　　&（カ）&　\sqrt {\frac {eV\Delta d}{m_{\mathrm {0}}D}}　　　　　&（ヨ）&　\frac {eV}{D}
\end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

目新しい公式等もなく非常にオーソドックスな問題と言えます。電験一種としては，非常に易しい問題と言えるでしょう。

【解答】

(1)解答：ヨ
図平行二枚板電極間の電界$ \ E \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
E &=& \frac {\displaystyle \frac {V}{2}-\left( -\frac {V}{2}\right) }{D} \\[ 5pt ] &=& \frac {V}{D}
\end{eqnarray}
\] であるから，電子が受ける力$ \ F \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
F &=& eE \\[ 5pt ] &=& \frac {eV}{D}
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答：ル
電子の運動方程式は，
\[
F = m_{\mathrm {0}}\frac {\mathrm {d}^{2}y}{\mathrm {d}t^{2}}
\] で表せるので$ \ \displaystyle F=\frac {eV}{D} \ $を代入して整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {eV}{D} &=& m_{\mathrm {0}}\frac {\mathrm {d}^{2}y}{\mathrm {d}t^{2}} \\[ 5pt ] \frac {\mathrm {d}^{2}y}{\mathrm {d}t^{2}} &=& \frac {eV}{m_{\mathrm {0}}D}
\end{eqnarray}
\] となる。

(3)解答：ロ
平行二枚板電極に入った時の$ \ y \ $方向の初速度が零であるから，
\[
\begin{eqnarray}
\Delta d &=& \frac {1}{2}\frac {\mathrm {d}^{2}y}{\mathrm {d}t^{2}}t_{1}^{2} \\[ 5pt ] &=& \frac {1}{2} \frac {eV}{m_{\mathrm {0}}D}t_{1}^{2} \\[ 5pt ] &=& \frac {eVt_{1}^{2}}{2m_{\mathrm {0}}D}
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：ト
$ \ v_{\mathrm {y}} \ $を$ \ t_{\mathrm {1}} \ $を用いて表すと，
\[
\begin{eqnarray}
v_{\mathrm {y}} &=& \frac {\mathrm {d}^{2}y}{\mathrm {d}t^{2}} t_{1} \\[ 5pt ] &=& \frac {eV}{m_{\mathrm {0}}D}t_{1} \\[ 5pt ] &=& \frac {eVt_{1}}{m_{\mathrm {0}}D}　　　　　・・・・・・・・・・①
\end{eqnarray}
\] である。一方(3)の解答式を$ \ t_{1} \ $について整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
\Delta d &=& \frac {eVt_{1}^{2}}{2m_{\mathrm {0}}D} \\[ 5pt ] t_{1}^{2} &=& \frac {2m_{\mathrm {0}}D\Delta d}{eV} \\[ 5pt ] t_{1}&=&\sqrt {\frac {2m_{\mathrm {0}}D\Delta d}{eV}} 　・・・・・・・・・・②
\end{eqnarray}
\] となるから，②を①に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
v_{\mathrm {y}} &=& \frac {eVt_{1}}{m_{\mathrm {0}}D} \\[ 5pt ] &=& \frac {eV}{m_{\mathrm {0}}D}\sqrt {\frac {2m_{\mathrm {0}}D\Delta d}{eV}} \\[ 5pt ] &=& \sqrt {\frac {2eV\Delta d}{m_{\mathrm {0}}D}}
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答：リ
平行二枚板電極を通りすぎた後，$ \ x \ $方向には速度$ \ v_{\mathrm {x}} \ $，$ \ y \ $方向には$ \ v_{\mathrm {y}} \ $で等速運動を続けることになる。平行二枚板電極を通りすぎてから，スクリーンに到達する時間$t_{2}$は，
\[
t_{2}=\frac {L}{v_{\mathrm {x}}}
\] であるから，$y$方向への変位$\Delta y$は，
\[
\begin{eqnarray}
\Delta y &=& v_{\mathrm {y}}t_{2} \\[ 5pt ] &=& v_{\mathrm {y}}\frac {L}{v_{\mathrm {x}}} \\[ 5pt ] &=& \frac {v_{\mathrm {y}}}{v_{\mathrm {x}}}L
\end{eqnarray}
\] と求められる。