《理論》〈電気及び電子計測〉[H18:問7]可動コイル形計器の温度補償方法に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

次の文章は，可動コイル形計器の温度補償方法に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる式を解答群の中から選び，その記号をマークシートに記入しなさい。

図は可動コイル形計器を用いて直流電圧\( \ V \ \)を測定する回路であり，温度の上昇に対して可変抵抗\( \ R_{1} \ \)を適切に設定することにより，計器の誤差を補償するものである。図において，可動コイルの抵抗及び温度係数を\( \ R_{0} \ \)及び\( \ \alpha _{0} \ \)，可変抵抗\( \ R_{1} \ \)の温度係数を\( \ \alpha _{1} \ \)，抵抗\( \ R_{2} \ \)の温度係数を\( \ \alpha _{2} \ \)とする。ただし，\( \ \alpha _{1} \ \)は\( \ 0 \ \)とし，\( \ \alpha _{0} \ \)，\( \ \alpha _{2} \ \)は正の温度係数をもち，\( \ \alpha _{2} \gt \alpha _{0} \ \)とする。

基準となる温度において，電圧\( \ V \ \)は\( \ V= \ \fbox {　 （１） 　} \ \times I+R_{0}\times I \ \)と表され，\( \ V= \ \fbox {　 （２） 　} \ \times I \ \)となる。

いま，基準温度より\( \ t \ \)だけ温度上昇した場合，可動コイルに流れる電流を\( \ I^{\prime } \ \)とすると，電圧 \( \ V \ \)は\( \ V= \ \fbox {　 （３） 　} \ \times I^{\prime } \ \)となる。

ここで，\( \ \fbox {　 （４） 　} \ \ \)の条件を満足すれば，温度補償ができることになる。したがって，\( \ t \ \)だけ温度上昇したとき，可変抵抗\( \ R_{1} \ \)を\( \ \fbox {　 （５） 　} \ \times R_{2} \ \)とすればよい。

〔問7の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　R_{1}\left( 1+\frac {R_{0}}{R_{2}}\right)　　　　　&（ロ）&　\left( R_{2}+\frac {R_{0}R_{2}}{R_{1}}+R_{0}\right) \\[ 5pt ] &（ハ）&　\frac {\alpha _{2}-\alpha _{0}}{\alpha _{0}\left( 1+\alpha _{2}t\right) }　　　　　&（ニ）&　\left[ R_{1}+\frac {R_{0}R_{1}\left( 1+\alpha _{0}t\right) }{R_{2}\left( 1+\alpha _{2}t\right) }+R_{0}\left( 1+\alpha _{0}t\right) \right] \\[ 5pt ] &（ホ）&　I=I^{\prime }　　　　　&（ヘ）&　\left( R_{1}+\frac {R_{1}R_{2}}{R_{0}}+R_{2}\right) \\[ 5pt ] &（ト）&　I \lt I^{\prime }　　　　　&（チ）&　\left( R_{1}+\frac {R_{0}R_{1}}{R_{2}}+R_{0}\right) \\[ 5pt ] &（リ）&　\frac {\alpha _{2}\left( 1+\alpha _{0}t\right) }{\alpha _{0}-\alpha _{2}}　　　　　&（ヌ）&　\left[ R_{1}+\frac {R_{1}R_{2}\left( 1+\alpha _{2}t\right) }{R_{0}\left( 1+\alpha _{0}t\right) }+R_{2}\left( 1+\alpha _{2}t\right) \right] \\[ 5pt ] &（ル）&　R_{2}\left( 1+\frac {R_{0}}{R_{1}}\right)　　　　　&（ヲ）&　\frac {\alpha _{0}\left( 1+\alpha _{2}t\right) }{\alpha _{2}-\alpha _{0}} \\[ 5pt ] &（ワ）&　I \gt I^{\prime }　　　　　&（カ）&　\left[ R_{2}+\frac {R_{0}R_{2}\left( 1+\alpha _{2}t\right) }{R_{1}\left( 1+\alpha _{0}t\right) }+R_{0}\left( 1+\alpha _{0}t\right) \right] \\[ 5pt ] &（ヨ）&　R_{1}\left( 1+\frac {R_{2}}{R_{0}}\right) && \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

可動コイル形計器の温度補償方法に関する問題です。
抵抗温度係数以外は電気回路の基本知識を用いて解ける問題ですが，導出過程がわかりにくく計算量が多い問題です。
焦らずに落ち着いて関係式を立てていくようにしましょう。

1.抵抗温度係数
基準温度\( \ t_{1} \ \mathrm {[{}^{\circ} C]} \ \)における抵抗値が\( \ R_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，抵抗温度係数が\( \ \alpha \ \mathrm {[{}^{\circ} C^{-1}]} \ \)の抵抗器があるとき，温度\( \ t_{2} \ \mathrm {[{}^{\circ} C]} \ \)における抵抗値\( \ R_{2} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
R_{2}&=&R_{1}\left\{ 1+\alpha \left( t_{2}-t_{1}\right) \right\} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。

【解答】

(1)解答：イ
図1に示すように\( \ R_{1} \ \)に流れる電流を\( \ I_{1} \ \)とすると，分流の法則より\( \ I_{1} \ \)と\( \ I \ \)の関係は，
\[
\begin{eqnarray}
I&=&\frac {R_{2}}{R_{0}+R_{2}}I_{1} \\[ 5pt ] I_{1}&=&\frac {R_{0}+R_{2}}{R_{2}}I \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，電圧\( \ V \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
V&=&R_{1}I_{1}+R_{0}I \\[ 5pt ] &=&R_{1}\frac {R_{0}+R_{2}}{R_{2}}I+R_{0}I \\[ 5pt ] &=&R_{1}\left( 1+\frac {R_{0}}{R_{2}}\right) I+R_{0}I \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答：チ
(1)解答式を整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
V&=&R_{1}\left( 1+\frac {R_{0}}{R_{2}}\right) I+R_{0}I \\[ 5pt ] &=&R_{1}I+\frac {R_{0}R_{1}}{R_{2}}I+R_{0}I \\[ 5pt ] &=&\left( R_{1}+\frac {R_{0}R_{1}}{R_{2}}+R_{0}\right) I \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：ニ
基準温度より\( \ t \ \)だけ温度上昇したときの抵抗\( \ {R_{0}}^{\prime } \ \)及び\( \ {R_{2}}^{\prime } \ \)は，ワンポイント解説「1.抵抗温度係数」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
{R_{0}}^{\prime }&=&R_{0}\left( 1+\alpha _{0}t \right) \\[ 5pt ] {R_{2}}^{\prime }&=&R_{2}\left( 1+\alpha _{2}t \right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，これと(2)解答式より\( \ V \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
V&=&\left( R_{1}+\frac {{R_{0}}^{\prime }R_{1}}{{R_{2}}^{\prime }}+{R_{0}}^{\prime }\right) I^{\prime } \\[ 5pt ] &=&\left[ R_{1}+\frac {R_{0}R_{1}\left( 1+\alpha _{0}t\right) }{R_{2}\left( 1+\alpha _{2}t\right) }+R_{0}\left( 1+\alpha _{0}t\right) \right] I^{\prime } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：ホ
温度補償ができているということは温度が変化しても計器の測定する電流値が変化しないということなので，\( \ I=I^{\prime } \ \)の条件を満足するということである。

(5)解答：ヲ
(2)と(3)解答式及び\( \ I=I^{\prime } \ \)より，
\[
\begin{eqnarray}
V=\left( R_{1}+\frac {R_{0}R_{1}}{R_{2}}+R_{0}\right) I&=&\left[ R_{1}+\frac {R_{0}R_{1}\left( 1+\alpha _{0}t\right) }{R_{2}\left( 1+\alpha _{2}t\right) }+R_{0}\left( 1+\alpha _{0}t\right) \right] I^{\prime } \\[ 5pt ] R_{1}+\frac {R_{0}R_{1}}{R_{2}}+R_{0}&=& R_{1}+\frac {R_{0}R_{1}\left( 1+\alpha _{0}t\right) }{R_{2}\left( 1+\alpha _{2}t\right) }+R_{0}\left( 1+\alpha _{0}t\right) \\[ 5pt ] \frac {R_{0}R_{1}}{R_{2}}+R_{0}&=& \frac {R_{0}R_{1}\left( 1+\alpha _{0}t\right) }{R_{2}\left( 1+\alpha _{2}t\right) }+R_{0}\left( 1+\alpha _{0}t\right) \\[ 5pt ] \frac {R_{1}}{R_{2}}+1&=& \frac {R_{1}\left( 1+\alpha _{0}t\right) }{R_{2}\left( 1+\alpha _{2}t\right) }+ 1+\alpha _{0}t \\[ 5pt ] \frac {R_{1}}{R_{2}}&=& \frac {R_{1}\left( 1+\alpha _{0}t\right) }{R_{2}\left( 1+\alpha _{2}t\right) }+\alpha _{0}t \\[ 5pt ] 1&=& \frac { 1+\alpha _{0}t }{1+\alpha _{2}t }+\frac {R_{2}}{R_{1}}\alpha _{0}t \\[ 5pt ] \frac {R_{2}}{R_{1}}\alpha _{0}t&=& 1-\frac { 1+\alpha _{0}t }{1+\alpha _{2}t } \\[ 5pt ] &=& \frac { 1+\alpha _{2}t }{1+\alpha _{2}t }-\frac { 1+\alpha _{0}t }{1+\alpha _{2}t } \\[ 5pt ] &=& \frac { \alpha _{2}t-\alpha _{0}t }{1+\alpha _{2}t } \\[ 5pt ] \frac {R_{2}}{R_{1}}\alpha _{0}&=& \frac { \alpha _{2}-\alpha _{0} }{1+\alpha _{2}t } \\[ 5pt ] R_{1}&=& \frac {1+\alpha _{2}t }{ \alpha _{2}-\alpha _{0} }R_{2}\alpha _{0} \\[ 5pt ] &=& \frac {\alpha _{0}\left( 1+\alpha _{2}t\right) }{\alpha _{2}-\alpha _{0}}R_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。