《理論》〈電気回路〉[R08:問3]抵抗ブリッジ回路の電流の大きさに関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★★（難しい）

次の文章は抵抗ブリッジ回路の電流に関する記述である。文中の$ \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

図1のスイッチ$ \ \mathrm {S} \ $を閉じたときの電流$ \ I_{0} \ $を求めたい。

まず，図1の$ \ \mathrm {S} \ $が開いている場合を考える。閉路電流$ \ I_{\mathrm {a}} \ $，$ \ I_{\mathrm {b}} \ $が満たす方程式は$ \ \fbox {　（１）　} \ $となる。$ \ I_{\mathrm {a}} \ $，$ \ I_{\mathrm {b}} \ $はクラメルの公式などを用いて求められる。$ \ I_{\mathrm {a}} \ $，$ \ I_{\mathrm {b}} \ $を用いると，節点$ \ \mathrm {a} \ $を基準とする節点$ \ \mathrm {b} \ $の電位は，二つの抵抗$ \ R_{\mathrm {2}} \ $の枝での電圧降下の和から$ \ \fbox {　（２）　} \ $となる。（公式$ \ x^{2}-y^{2}=\left( x+y\right) \left( x-y\right) \ $を利用せよ）

図1の$ \ \mathrm {S} \ $を閉じたときの電流$ \ I_{0} \ $は，$ \ \mathrm {S} \ $を開いたときの節点$ \ \mathrm {a} \ $，$ \ \mathrm {b} \ $間の抵抗を$ \ R_{\mathrm {ab}} \ $とおくと，テブナンの定理により$ \ \fbox {　（２）　} \ $を$ \ R_{\mathrm {ab}} \ $で割って得られる。

$ \ I_{0} \ $を求める方法は他にもある。図1の$ \ \mathrm {S} \ $を閉じて枝$ \ \mathrm {ac} \ $の電圧源$ \ E \ $を短絡除去し，枝$ \ \mathrm {ab} \ $に挿入すると図2となる。線形回路の$ \ \fbox {　（３）　} \ $性により，$ \ \mathrm {S} \ $を閉じたときの図1の電流$ \ I_{0} \ $は，図2の電流$ \ \fbox {　（４）　} \ $と一致する。図2のブリッジは平衡していることから$ \ \fbox {　（４）　} \ $は求められる。$ \ I_{0} \ $を$ \ E \ $の式で表すと，$ \ I_{0}= \ \fbox {　（５）　} \ $となる。

〔問3の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　{I_{2}}^{\prime }　　　　　&（ロ）&　{I_{1}}^{\prime } \\[ 5pt ] &（ハ）&　\frac {Er}{R_{1}+R_{2}+r}　　　　　&（ニ）&　\frac {ER_{2}}{R_{1}+R_{2}} \\[ 5pt ] &（ホ）&　\frac {E}{2R_{1}}　　　　　&（ヘ）&　相似 \\[ 5pt ] &（ト）&　\frac {E}{2R_{2}}　　　　　&（チ）&　\frac {ER_{1}}{R_{1}+R_{2}} \\[ 5pt ] &（リ）&　相反　　　　&（ヌ）&　双対 \\[ 5pt ] &（ル）&　\frac {E}{2}\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}}　　　　　&（ヲ）&　{I_{0}}^{\prime } \\[ 5pt ] &（ワ）&　\begin{bmatrix}
2R_{1}+r & -r \\
-r & 2R_{2}+r
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
I_{\mathrm {a}} \\
I_{\mathrm {b}}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
E \\
0
\end{bmatrix}　　　&（カ）&　\begin{bmatrix}
2R_{1}+r & r \\
r & 2R_{2}+r
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
I_{\mathrm {a}} \\
I_{\mathrm {b}}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
E \\
0
\end{bmatrix} \\[ 5pt ] &（ヨ）&　\begin{bmatrix}
R_{1}+R_{2}+r & -r \\
-r & R_{1}+R_{2}+r
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
I_{\mathrm {a}} \\
I_{\mathrm {b}}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
E \\
0
\end{bmatrix}　&& \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

抵抗ブリッジ回路に流れる電流を導出する問題です。
クラメルの公式や相反定理等，$ \ 1 \ $種で出題されてもおかしくないような内容が掲載され，計算量も多いため受験生を大変悩ませた問題かと思います。
(1)は比較的易しいので，わからなくても部分点は取得できるようにして下さい。

1.網目電流法
キルヒホッフの法則の一つで，閉回路に流れる網目電流に着目し，回路方程式を立てる方法です。
例えば図3の回路で，各網目電流を$ \ I_{1} \ \mathrm {[A]} \ $及び$ \ I_{2} \ \mathrm {[A]} \ $とおけば，回路方程式は，
\[
\begin{eqnarray}
E_{1}&=&R_{3}\left( I_{1}-I_{2}\right) +R_{1}I_{1} \\[ 5pt ] E_{2}&=&R_{2}I_{2}+R_{3}\left( I_{2}-I_{1}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] のように立てることができます。

2.相反定理
図4に示す通り，端子$ \ \mathrm {ab} \ $及び端子$ \ \mathrm {cd} \ $が接続された電源を含まない回路網があるとします。
端子$ \ \mathrm {ab} \ $に電源$ \ E_{1} \ \mathrm {[V]} \ $を接続したときの端子$ \ \mathrm {cd} \ $に流れる短絡電流が$ \ I_{2} \ \mathrm {[A]} \ $であり，端子$ \ \mathrm {cd} \ $に電源$ \ E_{2} \ \mathrm {[V]} \ $を接続したときの端子$ \ \mathrm {ab} \ $に流れる短絡電流が$ \ I_{1} \ \mathrm {[A]} \ $であるとき，
\[
\begin{eqnarray}
E_{1}I_{1}&=&E_{2}I_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] が成り立ち，これを相反定理といいます。また，$ \ E_{1}=E_{2} \ $である場合，
\[
\begin{eqnarray}
I_{1}&=&I_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

3.クラメルの公式
連立方程式
\[
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
ax + by &=& e \\
cx + dy &=& f
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\] すなわち，
\[
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
e \\
f
\end{pmatrix}
\] があるとき，$ \ x \ $及び$ \ y \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
x=\frac {\begin{vmatrix}
\color {red} {e} & b \\
\color {red} {f} & d
\end{vmatrix}}
{\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix}},　y=\frac {\begin{vmatrix}
a & \color {red} {e} \\
c & \color {red} {f}
\end{vmatrix}}
{\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix}}
\end{eqnarray}
\] 　　ただし，$ \ \displaystyle \begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix}=ad-bc \ $
で求められます。
ただし，クラメルの公式を使わなくても，逆行列を用いたり，普通に連立方程式を解いていけば解くことは可能ですので，電験においては必須の知識ではありません。

【解答】

(1)解答：ヨ
閉路電流$ \ I_{\mathrm {a}} \ $の閉回路について，回路方程式を立てると，ワンポイント解説「1.網目電流法」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
R_{1}I_{\mathrm {a}}+r\left( I_{\mathrm {a}}-I_{\mathrm {b}} \right) +R_{2}I_{\mathrm {a}}&=&E \\[ 5pt ] \left( R_{1}+R_{2}+r \right) I_{\mathrm {a}}-rI_{\mathrm {b}}&=&E \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，同様に，閉路電流$ \ I_{\mathrm {b}} \ $の閉回路について，回路方程式を立てると，ワンポイント解説「1.網目電流法」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
R_{1}I_{\mathrm {b}}+R_{2}I_{\mathrm {b}}+r\left( I_{\mathrm {b}}-I_{\mathrm {a}} \right) &=&0 \\[ 5pt ] -rI_{\mathrm {a}}+\left( R_{1}+R_{2}+r \right) I_{\mathrm {b}}&=&0 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，行列の形にすれば，
\[
\begin{eqnarray}
\begin{bmatrix}
R_{1}+R_{2}+r & -r \\
-r & R_{1}+R_{2}+r
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
I_{\mathrm {a}} \\
I_{\mathrm {b}}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
E \\
0
\end{bmatrix} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答：ニ
クラメルの公式より，$ \ I_{\mathrm {a}} \ $及び$ \ I_{\mathrm {b}} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {a}}&=&\frac {\begin{vmatrix}
E & -r \\
0 & R_{1}+R_{2}+r
\end{vmatrix}}
{\begin{vmatrix}
R_{1}+R_{2}+r & -r \\
-r & R_{1}+R_{2}+r
\end{vmatrix}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\left( R_{1}+R_{2}+r\right) E}{\left( R_{1}+R_{2}+r\right) ^{2}-r^{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\left( R_{1}+R_{2}+r\right) E}{\left( R_{1}+R_{2}+2r\right) \left( R_{1}+R_{2}\right) } \\[ 5pt ] I_{\mathrm {b}}&=&\frac {\begin{vmatrix}
R_{1}+R_{2}+r & E \\
-r & 0
\end{vmatrix}}
{\begin{vmatrix}
R_{1}+R_{2}+r & -r \\
-r & R_{1}+R_{2}+r
\end{vmatrix}} \\[ 5pt ] &=&\frac {r E}{\left( R_{1}+R_{2}+r\right) ^{2}-r^{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {rE}{\left( R_{1}+R_{2}+2r\right) \left( R_{1}+R_{2}\right) } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，節点$ \ \mathrm {a} \ $を基準とする節点$ \ \mathrm {b} \ $の電位$ \ V_{\mathrm {ba}} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {ba}} &=&R_{2}I_{\mathrm {a}}+R_{2}I_{\mathrm {b}} \\[ 5pt ] &=&R_{2}\left( I_{\mathrm {a}}+I_{\mathrm {b}} \right) \\[ 5pt ] &=&R_{2}\left\{ \frac {\left( R_{1}+R_{2}+r\right) E}{\left( R_{1}+R_{2}+2r\right) \left( R_{1}+R_{2}\right) }+\frac {rE}{\left( R_{1}+R_{2}+2r\right) \left( R_{1}+R_{2}\right) } \right\} \\[ 5pt ] &=&R_{2}\cdot \frac {\left( R_{1}+R_{2}+2r\right) E}{\left( R_{1}+R_{2}+2r\right) \left( R_{1}+R_{2}\right) } \\[ 5pt ] &=&\frac {ER_{2} }{ R_{1}+R_{2} } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：リ
ワンポイント解説「2.相反定理」の通り，図1から図2の操作は線形回路の相反性により行っています。

(4)解答：ロ
ワンポイント解説「2.相反定理」の通り，図1の電流$ \ I_{0} \ $は，図2の電流$ \ {I_{1}}^{\prime } \ $と一致します。

(5)解答：ホ
図2のブリッジ回路は平衡しているので，$ \ r \ $は除去することができ，全体の合成抵抗$ \ R \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
R &=&\frac {2R_{1}\cdot 2R_{2}}{2R_{1}+2R_{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {2R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，電源を流れる電流$ \ {I_{0}}^{\prime } \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
{I_{0}}^{\prime } &=&\frac {E}{R} \\[ 5pt ] &=&\frac {\left( R_{1}+R_{2}\right) E}{2R_{1}R_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，分流の法則より$ \ {I_{1}}^{\prime } \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
{I_{1}}^{\prime } &=&\frac {2R_{2}}{2R_{1}+2R_{2}}{I_{0}}^{\prime } \\[ 5pt ] &=&\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}{I_{0}}^{\prime } \\[ 5pt ] &=&\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\cdot \frac {\left( R_{1}+R_{2}\right) E}{2R_{1}R_{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {E}{2R_{1}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。