《理論》〈電子理論〉[R03:問6]静電界による電子の運動に関する計算問題

Contents

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★★★★☆（やや難しい）

次の文章は，静電界による電子の運動に関する記述である。文中の$ \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

図のように，真空中を電子（質量$ \ m \ $，電荷量$ \ -e \ $，$ \ e\gt 0 \ $）が$ \ x \ $軸上を$ \ x\lt 0 \ $の領域から一定速度$ \ v_{\mathrm {x0}}\left( \gt 0\right) \ $で運動している。領域$ \ 0 ≦ x ≦ a \ $には，図に示すように$ \ y \ $軸の負の方向に均一な電界$ \ E\left( \gt 0\right) \ $がかかっており，それ以外の領域では電界がないものとする。電子の$ \ x \ $座標が$ \ x=0 \ $から$ \ x=a \ $に達するまでにかかる時間は$ \ \fbox {　（１）　} \ $である。領域$ \ 0 ≦ x ≦ a \ $では，電子は電界から力$ \ F= \ \fbox {　（２）　} \ $を受けて$ \ y \ $方向に偏向する。運動の第$ \ 2 \ $法則から$ \ y \ $方向の運動方程式は$ \ \displaystyle m\frac {\mathrm {d}v_{\mathrm {y}}}{\mathrm {d}t}= \ \fbox {　（２）　} \ $と表される。ただし，$ \ v_{\mathrm {y}} \ $は速度の$ \ y \ $方向成分を表す。微分方程式を解くことにより，電子の$ \ x \ $座標が$ \ x=a \ $に到達したときの$ \ v_{\mathrm {y}} \ $は$ \ \fbox {　（３）　} \ $となり，そのときの電子の$ \ y \ $座標は$ \ \fbox {　（４）　} \ $となる。領域$ \ x\gt a \ $では，電子の運動は$ \ x \ $，$ \ y \ $方向共に等速度運動となることから，電子が$ \ x=L\left( \gt a\right) \ $に到達した際の$ \ y \ $座標を$ \ d \ $とすると，$ \ d = \ \fbox {　（５）　} \ $となる。

〔問6の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　\frac {eE}{m}\left( \frac {a}{v_{\mathrm {x0}}}\right) ^{2}　　　　　&（ロ）&　\frac {eE}{2m}\frac {a\left( 2L-a\right) }{v_{\mathrm {x0}}^{2}}　　　　　&（ハ）&　\frac {eE}{m} \frac {a}{v_{\mathrm {x0}}} \\[ 5pt ] &（ニ）&　\frac {eE}{2m}\frac {a\left( L-a\right) }{v_{\mathrm {x0}}^{2}}　　　　　&（ホ）&　\frac {m}{eE} \frac {L-a}{v_{\mathrm {x0}}}　　　　　&（ヘ）&　eE \\[ 5pt ] &（ト）&　\frac {eE}{m} \frac {v_{\mathrm {x0}}}{a} 　　　　　&（チ）&　\frac {eE}{m}　　　　　&（リ）&　\frac {a}{v_{\mathrm {x0}}} \\[ 5pt ] &（ヌ）&　\frac {L}{v_{\mathrm {x0}}}　　　　　&（ル）&　\frac {eE}{2m}\left( \frac {a}{v_{\mathrm {x0}}}\right) ^{2}　　　　　　&（ヲ）&　\frac {eE}{m}\frac {a\left( 2L-a\right) }{v_{\mathrm {x0}}^{2}} \\[ 5pt ] &（ワ）&　aE　　　　　&（カ）&　\frac {L-a}{v_{\mathrm {x0}}}　　　　　&（ヨ）&　\frac {eE}{2m}\left( \frac {L}{v_{\mathrm {x0}}}\right) ^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

電界中の電子の動きに関する問題です。
少し計算量の多い問題ですが，得意な方は非常に易しく感じる問題なので，受験生の点数差が非常に開きやすい問題と言えます。

1.電荷に働く力の大きさ
一様な電界$ \ E \ $が電荷$ \ q \ $にかかっているとき，この電荷$ \ q \ $に働く力の大きさ$ \ F \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
F &=&qE \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.運動方程式（力学）
質量$ \ m \ $の物体に力$ \ F \ $がかかっている時，この物体にかかる加速度$ \ a \ $との間には，
\[
\begin{eqnarray}
F &=&ma \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があります。

3.物体の運動に関する公式（力学）
初速度が$ \ v_{0} \ \mathrm {[m/s]} \ $の物体が加速度$ \ a \ \mathrm {[m/s^{2}]} \ $で運動している時，$ \ t \ \mathrm {[s]} \ $ 後の物体の速度は，
\[
\begin{eqnarray}
v&=&v_{0}+at \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。
また，基準となる位置$ \ x_{0} \ \mathrm {[m]} \ $にある物体が，初速度$ \ v_{0} \ \mathrm {[m／s]} \ $，加速度$ \ a \ \mathrm {[m／s^{2}]} \ $で運動しているとすると，時刻$ \ t \ \mathrm {[s]} \ $後の位置$ \ x \ \mathrm {[m]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
x &=&x_{0}+v_{0}t+\frac {1}{2}at^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

(1)解答：リ
$ \ x \ $軸方向には電界がかかっておらず，電子の速度の$ \ x \ $方向成分は一定である。したがって，$ \ x=0 \ $から$ \ x=a \ $に達するまでにかかる時間$ \ t_{\mathrm {a}} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
t_{\mathrm {a}}&=&\frac {a}{v_{\mathrm {x0}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答：ヘ
電子$ \ -e \ $にかかる力は電界の向きが$ \ -y \ $方向なので$ \ +y \ $方向となり，その大きさ$ \ F \ $は，ワンポイント解説「1.電荷に働く力の大きさ」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
F&=&eE \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：ハ
問題に与えられている微分方程式を変形すると，
\[
\begin{eqnarray}
m\frac {\mathrm {d}v_{\mathrm {y}}}{\mathrm {d}t}&=&eE \\[ 5pt ] \mathrm {d}v_{\mathrm {y}}&=&\frac {eE}{m}\mathrm {d}t \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，両辺積分すると，(1)より上式が成立するのは$ \ \displaystyle 0≦t≦\frac {a}{v_{\mathrm {x0}}} \ $であるから，
\[
\begin{eqnarray}
m\frac {\mathrm {d}v_{\mathrm {y}}}{\mathrm {d}t}&=&eE \\[ 5pt ] v_{\mathrm {y}}&=&\int _{0}^{\frac {a}{v_{\mathrm {x0}}}}\frac {eE}{m}\mathrm {d}t \\[ 5pt ] &=&\left[ \frac {eE}{m}t\right] _{0}^{\frac {a}{v_{\mathrm {x0}}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {eE}{m} \frac {a}{v_{\mathrm {x0}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

【別解】
ワンポイント解説「2.運動方程式（力学）」より，加速度$ \ \alpha \ $とすると，
\[
\begin{eqnarray}
F&=&m\alpha \\[ 5pt ] eE&=&m\alpha \\[ 5pt ] \alpha &=&\frac {eE}{m} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，$ \ x=a \ $での速度$ \ v_{\mathrm {y}} \ $は，$ \ y \ $方向の初速度が$ \ 0 \ $であるので，ワンポイント解説「3.物体の運動に関する公式（力学）」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
v_{\mathrm {y}}&=&\alpha t \\[ 5pt ] &=&\frac {eE}{m} \frac {a}{v_{\mathrm {x0}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：ル
$ \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}y}{\mathrm {d}t}=v_{\mathrm {y}} \ $であるから，
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {d}y&=&v_{\mathrm {y}}\mathrm {d}t \\[ 5pt ] &=&\frac {eE}{m} t\mathrm {d}t \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，両辺積分すると，$ \ x=a \ $での位置$ \ y_{\mathrm {a}} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
y_{\mathrm {a}}&=&\int _{0}^{\frac {a}{v_{\mathrm {x0}}}}\frac {eE}{m} t\mathrm {d}t \\[ 5pt ] &=&\frac {eE}{m} \left[ \frac {t^{2}}{2} \right] _{0}^{\frac {a}{v_{\mathrm {x0}}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {eE}{2m}\left( \frac {a}{v_{\mathrm {x0}}}\right) ^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

【別解】
$ \ x=a \ $での位置$ \ y_{\mathrm {a}} \ $は，$ \ y \ $方向の初期位置が$ \ 0 \ $，初速度が$ \ 0 \ $であるので，ワンポイント解説「3.物体の運動に関する公式（力学）」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
y_{\mathrm {a}}&=&\frac {1}{2}\alpha t^{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{2}\frac {eE}{m} \left( \frac {a}{v_{\mathrm {x0}}}\right) ^{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {eE}{2m}\left( \frac {a}{v_{\mathrm {x0}}}\right) ^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答：ロ
電子の速度の$ \ x \ $方向成分は一定であるため，$ \ x=a \ $から$ \ x=L \ $に達するまでにかかる時間$ \ t_{\mathrm {L}} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
t_{\mathrm {L}}&=&\frac {L-a}{v_{\mathrm {x0}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，$ \ x=a \ $以降は電子の速度の$ \ y \ $方向成分も一定であるため，
\[
\begin{eqnarray}
d&=&y_{\mathrm {a}}+v_{\mathrm {y}}t_{\mathrm {L}} \\[ 5pt ] &=&\frac {eE}{2m}\left( \frac {a}{v_{\mathrm {x0}}}\right) ^{2}+\frac {eE}{m} \frac {a}{v_{\mathrm {x0}}}\cdot \frac {L-a}{v_{\mathrm {x0}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {eE}{2m}\left\{ \frac {a^{2}}{v_{\mathrm {x0}}^{2}}+ \frac {2a\left( L-a \right) }{v_{\mathrm {x0}}^{2}}\right\} \\[ 5pt ] &=&\frac {eE}{2m} \frac {a^{2}+2aL-2a^{2}}{v_{\mathrm {x0}}^{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {eE}{2m} \frac {2aL-a^{2}}{v_{\mathrm {x0}}^{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {eE}{2m}\frac {a\left( 2L-a\right) }{v_{\mathrm {x0}}^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。