《機械・制御》〈変圧器〉[H29:問2]単巻変圧器に関する計算問題

【問題】

【難易度】★☆☆☆☆（易しい）

図に示すように定格一次電圧\( \ 3000 \ \mathrm {V} \ \)，定格二次電圧\( \ 3300 \ \mathrm {V} \ \)の単相単巻変圧器がある。この変圧器の二次側に負荷を接続した場合，一次電圧\( \ V_{1} \ \)が\( \ 3000 \ \mathrm {V} \ \)，一次電流\( \ I_{1} \ \)が\( \ 100 \ \mathrm {A} \ \)であった。次の問に答えよ。ただし，励磁電流及び巻線のインピーダンス降下は無視できるものとする。

(1)　この単巻変圧器の巻数比を求めよ。

(2)　分路巻線の巻数\( \ w_{\mathrm {c}} \ \)が\( \ 500 \ \)回であるとき，直列巻線の巻数\( \ w_{\mathrm {s}} \ \)を求めよ。

(3)　直列巻線を流れる電流\( \ I_{2} \ \)及び分路巻線を流れる電流\( \ I_{\mathrm {c}} \ \)をそれぞれ求めよ。

(4)　自己容量\( \ S_{\mathrm {s}} \ \)を求めよ。

(5)　巻数分比\( \ K \ \)(負荷容量\( \ S \ \)に対する自己容量\( \ S_{\mathrm {s}} \ \)の比)を求めよ。

【ワンポイント解説】

本問で受験生が迷うのは(4)の自己容量ではないでしょうか。自己容量が分かっていれば，本問は比較的易しい問題となります。変圧器は比較的パターン化されている問題が多く，計算量も少ない問題が多いので，過去問をよく習熟しておけば本番でも得点源になり得ます。

1.単巻変圧器の自己容量\( \ S_{\mathrm {s}} \ \)と負荷容量\( \ S \ \)
問題図で与えられる変圧器の自己容量\( \ S_{\mathrm {s}} \ \)と負荷容量\( \ S \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
S_{\mathrm {s}}&=& \left( V_{2}-V_{1}\right) I_{2} \\[ 5pt ] &=& V_{1}I_{\mathrm {c}} \\[ 5pt ] S&=& V_{1}I_{1} \\[ 5pt ] &=& V_{2}I_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

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　　単巻変圧器の特徴

【解答】

(1)
単相変圧器の巻数比\( \ a \ \)は一次側の巻数\( \ n_{1} \ \)，二次側の巻数\( \ n_{2} \ \)とすると，定格一次電圧\( \ V_{1}=3000 \ \mathrm {V} \ \)，定格二次電圧\( \ V_{2}=3300 \ \mathrm {V} \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
a &=& \frac {n_{1}}{n_{2}} \\[ 5pt ] &=& \frac {V_{1}}{V_{2}} \\[ 5pt ] &=& \frac {3000}{3300} \\[ 5pt ] &≒& 0.90909　→　0.909 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。

(2)
題意より，\( \ n_{1}=w_{\mathrm {c}} \ \)，\( \ n_{2}=w_{\mathrm {c}}+w_{\mathrm {s}} \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {w_{\mathrm {c}}}{w_{\mathrm {c}}+w_{\mathrm {s}}} &=& \frac {3000}{3300} \\[ 5pt ] \frac {500}{500+w_{\mathrm {s}}} &=& \frac {3000}{3300} \\[ 5pt ] w_{\mathrm {s}} &=& 50 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)
一次電流\( \ I_{1}=100 \ \mathrm {A} \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {n_{1}}{n_{2}}=\frac {V_{1}}{V_{2}}=\frac {I_{2}}{I_{1}} &=& \frac {3000}{3300} \\[ 5pt ] \frac {I_{2}}{100} &=& \frac {3000}{3300} \\[ 5pt ] I_{2} &≒& 90.909　→ 90.9 \ [\mathrm {A}] \end{eqnarray}
\] と求められる。また\( \ I_{\mathrm {c}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {c}} &=& I_{1}-I_{2} \\[ 5pt ] &=& 100-90.909 \\[ 5pt ] &=& 9.091　→　9.09 \ [\mathrm {A}] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)
ワンポイント解説「1.単巻変圧器の自己容量\( \ S_{\mathrm {s}} \ \)と負荷容量\( \ S \ \)」より，
\[
\begin{eqnarray}
S_{\mathrm {s}} &=& V_{1}I_{\mathrm {c}} \\[ 5pt ] &=& 3000\times 9.091 \\[ 5pt ] &=& 27273 \ [\mathrm {V\cdot A}]　→27.3 \ [\mathrm {kV\cdot A}] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)
変圧器の負荷容量\( \ S \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
S &=& V_{1}I_{1} \\[ 5pt ] &=& 3000\times 100 \\[ 5pt ] &=& 300000 \ [\mathrm {V\cdot A}] \end{eqnarray}
\] であるから，巻数分比\( \ K \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
K &=& \frac {S_{\mathrm {s}}}{S} \\[ 5pt ] &=& \frac {27273}{300000} \\[ 5pt ] &=& 0.09091　→　0.0909
\end{eqnarray}
\] と求められる。