《機械・制御》〈変圧器〉[R01:問2]三相変圧器の並行運転に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

表に示す定格及び特性をもつ\( \ 2 \ \)台の三相変圧器\( \ \mathrm {A} \ \)及び\( \ \mathrm {B} \ \)が並行運転をしている。次の問に答えよ。ただし，負荷力率は\( \ 90 \ \mathrm {％} \ \)とし，両変圧器の定格一次電圧，定格二次電圧，変圧比，結線，相回転，及び巻線の抵抗と漏れリアクタンスとの比は等しいものとする。また，鉄損は負荷によらず一定とする。
\[
\begin{array}{|l|c|c|}
\hline
　　　定格・特性 & 変圧器 \ \mathrm {A} & 変圧器 \ \mathrm {B} \\
\hline
定格容量\left[ \mathrm {MV\cdot A}\right] & 20 & 12 \\
\hline
全負荷銅損\left[ \mathrm {kW}\right] & 100 & 75 \\
\hline
鉄損\left[ \mathrm {kW}\right] & 32 & 20 \\
\hline
百分率インピーダンス\left[ \mathrm {％}\right] & 4 & 5 \\
\hline
\end{array}
\]

(1)　負荷容量を\( \ P \ \left[ \mathrm {MV\cdot A}\right] \ \)とするときの変圧器\( \ \mathrm {A} \ \)及び\( \ \mathrm {B} \ \)の各負荷分担\( \ P_{\mathrm {A}} \ \left[ \mathrm {MV\cdot A}\right] \ \)及び\( \ P_{\mathrm {B}} \ \left[ \mathrm {MV\cdot A}\right] \ \)について，それぞれを\( \ P \ \)で表せ。

(2)　変圧器\( \ \mathrm {A} \ \)及び\( \ \mathrm {B} \ \)の損失をそれぞれ\( \ P_{\mathrm {lA}} \ \left[ \mathrm {kW}\right] \ \)及び\( \ P_{\mathrm {lB}} \ \left[ \mathrm {kW}\right] \ \)とするとき，両変圧器の総損失\( \ P_{\mathrm {L}} = P_{\mathrm {lA}}+ P_{\mathrm {lB}} \ \left[ \mathrm {kW}\right] \ \)について，上記の\( \ P \ \)で表せ。

(3)　変圧器\( \ \mathrm {A} \ \)及び\( \ \mathrm {B} \ \)を合わせた効率が最大となる負荷の有効電力\( \ P_{\mathrm {a}} \ \left[ \mathrm {MW}\right] \ \)を求めよ。

(4)　小問(3)のときの効率の最大値\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)を求めよ。

【ワンポイント解説】

変圧器の並行運転は容量換算が肝となります。百分率インピーダンスに自信のない方は本問を通して確実に理解するようにしましょう。

1.百分率インピーダンス容量換算
基準容量を\( \ P_{\mathrm {n}} \ \)，基準電圧を\( \ V_{\mathrm {n}} \ \)，基準電流を\( \ I_{\mathrm {n}} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
％Z&=&\frac {P_{\mathrm {n}}Z}{V_{\mathrm {n}}^{2}}\times 100 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるため，百分率インピーダンスは基準容量に比例します。したがって，基準容量\( \ P_{\mathrm {A}} \ \)から\( \ P_{\mathrm {B}} \ \)へ変換する場合の百分率インピーダンスは，
\[
\begin{eqnarray}
％Z_{\mathrm {B}}&=&\frac {P_{\mathrm {B}}}{P_{\mathrm {A}}}％Z_{\mathrm {A}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.変圧器の効率\( \ \eta \ \)と最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)
変圧器の損失は鉄損\( \ p_{\mathrm {i}} \ \)と銅損\( \ p_{\mathrm {c}} \ \)があり，\( \ p_{\mathrm {i}} \ \)は負荷によらず一定であり，\( \ p_{\mathrm {c}} \ \)は負荷(電流)の\( \ 2 \ \)乗に比例します。従って，定格出力\( \ P_{\mathrm {n}} \ \)で利用率\( \ \alpha \ \)の時の変圧器の効率\( \ \eta \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {出力}{入力} \\[ 5pt ] &=&\frac {出力}{出力+損失} \\[ 5pt ] &=&\frac {\alpha P_{\mathrm {n}}}{\alpha P_{\mathrm {n}}+p_{\mathrm {i}}+\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。
次に，最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)を求めるため，上式の分母分子を\( \ \alpha \ \)で割ると，
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {P_{\mathrm {n}}}{\displaystyle P_{\mathrm {n}}+\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha }+\alpha p_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，効率が最大となるためには，上式の分母が最小となれば良いので，\( \ \displaystyle A=P_{\mathrm {n}}+\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha }+\alpha p_{\mathrm {c}} \ \)と置くと，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}A}{\mathrm {d}\alpha }&=&-\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha ^{2} }+p_{\mathrm {c}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。よって\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}A}{\mathrm {d}\alpha }=0 \ \)となるとき，\( \ p_{\mathrm {i}}=\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}} \ \)であり，鉄損と銅損が等しい時効率は最大となります。

　※　本問題を解く上では，鉄損と銅損が等しい時，効率が最大となることを覚えていれば問題ありません。

【解答】

(1)負荷容量を\( \ P \ \)とするときの変圧器\( \ \mathrm {A} \ \)及び\( \ \mathrm {B} \ \)の各負荷分担\( \ P_{\mathrm {A}} \ \)及び\( \ P_{\mathrm {B}} \ \)
変圧器\( \ \mathrm {B} \ \)を\( \ 20 \ \mathrm {[MV\cdot A]} \ \)に変換すると，
\[
\begin{eqnarray}
％Z_{\mathrm {B}}&=&\frac {20}{12}\times 5 \\[ 5pt ] &=&8.3333 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，負荷の分担割合は両変圧器とも電圧が等しいことから，分流の法則が適用できるので,
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {A}}&=&\frac {％Z_{\mathrm {B}}}{％Z_{\mathrm {A}}+％Z_{\mathrm {B}}}P \\[ 5pt ] &=&\frac {8.3333}{4+8.3333}P \\[ 5pt ] &≒&0.67567P　→　0.676P \ \mathrm {[MV\cdot A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] \[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {B}}&=&\frac {％Z_{\mathrm {A}}}{％Z_{\mathrm {A}}+％Z_{\mathrm {B}}}P \\[ 5pt ] &=&\frac {4}{4+8.3333}P \\[ 5pt ] &≒&0.32433P　→　0.324P \ \mathrm {[MV\cdot A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)両変圧器の総損失\( \ P_{\mathrm {L}} = P_{\mathrm {lA}}+ P_{\mathrm {lB}} \ \)
ワンポイント解説「2.変圧器の効率\( \ \eta \ \)と最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)」の通り，銅損は負荷の\( \ 2 \ \)乗に比例するので，(1)の時のそれぞれの銅損\( \ P_{\mathrm {cA}} \ \)及び\( \ P_{\mathrm {cB}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {cA}}&=&\left( \frac {0.67567P}{20}\right) ^{2}\times 100 \\[ 5pt ] &≒&0.11413P^{2} \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] \[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {cB}}&=&\left( \frac {0.32433P}{12}\right) ^{2}\times 75 \\[ 5pt ] &≒&0.054786P^{2} \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，鉄損\( \ P_{\mathrm {iA}} \ \)及び\( \ P_{\mathrm {iB}} \ \)は負荷により変化がないので、両変圧器の総損失\( \ P_{\mathrm {L}} = P_{\mathrm {lA}}+ P_{\mathrm {lB}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {L}}&=&P_{\mathrm {lA}}+ P_{\mathrm {lB}} \\[ 5pt ] &=&P_{\mathrm {iA}}+ P_{\mathrm {cA}}+ P_{\mathrm {iB}}+ P_{\mathrm {cB}} \\[ 5pt ] &=&32+ 0.11413P^{2}+20+ 0.054786P^{2} \\[ 5pt ] &≒&0.16892P^{2}+52　→0.169P^{2}+52 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)変圧器\( \ \mathrm {A} \ \)及び\( \ \mathrm {B} \ \)を合わせた効率が最大となる負荷の有効電力\( \ P_{\mathrm {a}} \ \)
ワンポイント解説「2.変圧器の効率\( \ \eta \ \)と最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)」の通り，変圧器の効率が最大となる時は鉄損と銅損が等しい時であるから，(2)の解答式より，
\[
\begin{eqnarray}
0.16892P^{2}&=&52 \\[ 5pt ] P^{2}&≒&307.84 \\[ 5pt ] P&≒&17.545 \ \mathrm {[MV\cdot A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。題意より，負荷力率は\( \ 90 \ \mathrm {％} \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {a}}&=&0.9P \\[ 5pt ] &=&0.9×17.545 \\[ 5pt ] &≒&15.791　→　15.8 \ \mathrm {[MW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)小問(3)のときの効率の最大値\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)
(3)より及びワンポイント解説「2.変圧器の効率\( \ \eta \ \)と最大効率\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)」より，
\[
\begin{eqnarray}
\eta _{\mathrm {m}}&=&\frac {P_{\mathrm {a}}}{P_{\mathrm {a}}+p_{\mathrm {i}}+\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}}}\times 100 \\[ 5pt ] &=&\frac {P_{\mathrm {a}}}{P_{\mathrm {a}}+2p_{\mathrm {i}}}\times 100 \\[ 5pt ] &=&\frac {15.791\times 10^{3}}{15.791\times 10^{3}+2\times 52}\times 100 \\[ 5pt ] &≒&99.346　→　99.3 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。