Contents
【問題】
【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）
次の文章は，真空中における交番電界中の電子の運動に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる式を解答群の中から選び，その記号をマークシートに記入しなさい。なお，電子の質量を\( \ m_{0} \ \)，電荷を\( \ -e\left( e＞0\right) \ \)とし，電子の速度はその質量の変化が無視できる範囲とする。
図のように十分離れた平行板電極中の電界\( \ E\left( t\right) \ \)の向きを電極に直角な方向とし，その振幅の大きさを\( \ E_{0} \ \)，角周波数を\( \ \omega \ \)として，\( \ E\left( t\right) =E_{0}\sin \omega t \ \)とする。電子を電極間の一点に拘束しておき，\( \ t = t_{0} \ \)においてこれを自由にするものとする。このとき電子は，電界と反対方向に\( \ \fbox { （１） }\times \sin \omega t \ \)の力を受ける。電子の速度を\( \ v \ \)（ただし，\( \ v \ \)の正方向を図示の方向とする）とすると，運動の第\( \ 2 \ \)法則により，この\( \ \fbox { （１） }\times \sin \omega t \ \)の力は\( \ \fbox { （２） } \ \)と平衡する。したがって，電子の運動方程式から次の微分方程式が得られる。
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}v}{\mathrm {d}t} &=& \ \fbox { （３） } \ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
\( \ t=t_{0} \ \)で\( \ v=0 \ \)であることを考慮して，この式を積分すると，電子の速度\( \ v \ \)は\( \ v= \ \fbox { （４） } \ \)で表される。これらによれば，電子の運動は\( \ \fbox { （５） } \ \)ごとの時間で元の状態に戻ることがわかる。
〔問7の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）& \frac {m_{0}E_{0}}{e}\sin \omega t &（ロ）& em_{0}E_{0} &（ハ）& \frac {eE_{0}}{m_{0}\omega }\left( \cos \omega t_{0}-\cos \omega t \right) \\[ 5pt ]
&（ニ）& \frac {e^{2}}{m_{0}}\frac {\mathrm {d}v}{\mathrm {d}t} &（ホ）& \frac {eE_{0}}{m_{0}}\sin \omega t &（ヘ）& \frac {3\pi }{\omega } \\[ 5pt ]
&（ト）& \frac {2\pi }{\omega } &（チ）& \frac {{m_{0}}^{2}E_{0}}{e}\sin \omega t &（リ）& \frac {m_{0}E_{0}}{e\omega }\left( \cos \omega t_{0}-\cos \omega t \right) \\[ 5pt ]
&（ヌ）& {m_{0}}^{2}E_{0} &（ル）& em_{0}\frac {\mathrm {d}v}{\mathrm {d}t} &（ヲ）& m_{0}\frac {\mathrm {d}v}{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ]
&（ワ）& \frac {\pi }{\omega } &（カ）& eE_{0} &（ヨ）& \frac {{m_{0}}^{2}E_{0}}{e\omega }\left( \cos \omega t_{0}-\cos \omega t \right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
交番電界中の電子の運動に関する問題です。
(4)の空欄が積分計算を伴うため，\( \ 3 \ \)種よりも高度な内容となっていますが，他の空欄は\( \ 3 \ \)種の知識でも十分に対応できるかと思います。
\( \ 2 \ \)種では微分積分が扱える前提での出題となりますので，自信のない方は電験用の微分積分のテキストを学習しておくようにして下さい。
1.電荷に働く力の大きさ
一様な電界\( \ E \ \mathrm {[V / m]} \ \)が電荷\( \ q \ \mathrm {[C]} \ \)に加わっているとき，この電荷\( \ q \ \mathrm {[C]} \ \)に働く力の大きさ\( \ F \ \mathrm {[N]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
F &=&qE \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
2.運動方程式（力学）
質量\( \ m \ \mathrm {[kg]} \ \)の物体に力\( \ F \ \mathrm {[N]} \ \)が加わっている時，この物体の加速度\( \ a \ \mathrm {[m / s^{2}]} \ \)との間には，
\[
\begin{eqnarray}
F &=&ma \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係があります。
3.正弦波交流の基本
正弦波交流は図1に示されるような波形の交流です。
振幅の大きさ（最大値）を\( \ E_{\mathrm {m}} \ \mathrm {[V]} \ \)，角速度を\( \ \omega \ \mathrm {[rad / s]} \ \)，時間を\( \ t \ \mathrm {[s]} \ \)，初期位相を\( \ \theta \ \mathrm {[rad]} \ \)とすれば，瞬時値\( \ e\left( t \right) \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
e\left( t \right) &=&E_{\mathrm {m}}\sin \left( \omega t +\theta \right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，波形の周期\( \ T \ \mathrm {[s]} \ \)は，周波数を\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
T &=&\frac {1}{f}=\frac {2\pi }{\omega } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係があるので，\( \ \omega =2\pi f \ \)となり，
\[
\begin{eqnarray}
e\left( t \right) &=&E_{\mathrm {m}}\sin \left( 2\pi f t +\theta \right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と表現することもできます。
【解答】
(1)解答：カ
ワンポイント解説「1.電荷に働く力の大きさ」の通り，負の電荷を持つ電子が受ける力\( \ F \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
F &=&eE\left( t\right) \\[ 5pt ]
&=&eE_{0}\sin \omega t \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(2)解答：ヲ
加速度\( \ a \ \)と速度\( \ v \ \)の間には\( \ \displaystyle a=\frac {\mathrm {d}v}{\mathrm {d}t} \ \)の関係があるから，電子の運動方程式は，ワンポイント解説「2.運動方程式（力学）」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
F &=&m_{0}a \\[ 5pt ]
&=&m_{0}\frac {\mathrm {d}v}{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められ，これと電子が電界から受ける力が平衡する。
(3)解答：ホ
(1)及び(2)解答式より，
\[
\begin{eqnarray}
m_{0}\frac {\mathrm {d}v}{\mathrm {d}t} &=&eE_{0}\sin \omega t \\[ 5pt ]
\frac {\mathrm {d}v}{\mathrm {d}t} &=&\frac {eE_{0}}{m_{0}}\sin \omega t \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(4)解答：ハ
(3)解答式を変数分離して，両辺積分すると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}v}{\mathrm {d}t} &=&\frac {eE_{0}}{m_{0}}\sin \omega t \\[ 5pt ]
\mathrm {d}v &=&\frac {eE_{0}}{m_{0}}\sin \omega t \mathrm {d}t \\[ 5pt ]
v&=&\int \frac {eE_{0}}{m_{0}}\sin \omega t \mathrm {d}t \\[ 5pt ]
&=&\frac {eE_{0}}{m_{0}}\int \sin \omega t \mathrm {d}t \\[ 5pt ]
&=&\frac {eE_{0}}{m_{0}}\left( -\frac {1}{\omega } \cos \omega t \right) +C (C \ は積分定数) \\[ 5pt ]
&=&-\frac {eE_{0}}{m_{0}\omega } \cos \omega t +C \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，初期条件\( \ t=t_{0} \ \)で\( \ v=0 \ \)より，
\[
\begin{eqnarray}
0&=&-\frac {eE_{0}}{m_{0}\omega } \cos \omega t_{0} +C \\[ 5pt ]
C&=&\frac {eE_{0}}{m_{0}\omega } \cos \omega t_{0} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，
\[
\begin{eqnarray}
v&=&-\frac {eE_{0}}{m_{0}\omega } \cos \omega t +\frac {eE_{0}}{m_{0}\omega } \cos \omega t_{0} \\[ 5pt ]
&=&\frac {eE_{0}}{m_{0}\omega }\left( \cos \omega t_{0}-\cos \omega t \right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(5)解答：ト
ワンポイント解説「3.正弦波交流の基本」の通り，電子の運動の周期\( \ T \ \)は\( \ \displaystyle \frac {2\pi }{\omega } \ \)となる。
愛知県出身 愛称たけちゃん
詳しくは