《理論》〈電磁気〉[H29:問1] 誘電体境界面における電気力線の屈折に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

次の文章は，誘電体境界面における電気力線の屈折に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

図のように，誘電率の異なる誘電体\( \ 1 \ \)及び\( \ 2 \ \)が平面を境界として接している。その誘電率はそれぞれ\( \ \varepsilon _{1} \ \)，\( \ \varepsilon _{2} \ \)であり，境界面とその近傍の誘電体に真電荷は存在しない。この境界面に対し，誘電体\( \ 1 \ \)側から角度\( \ \theta _{1} \ \)で斜めに入射した一様な電気力線はそこで屈折し，角度\( \ \theta _{2} \ \)で誘電体\( \ 2 \ \)に入り込む。ただし，\( \ 0 < \theta _{1} < 90° \ \)，\( \ 0 < \theta _{2} < 90° \ \)とする。 誘電体\( \ 1 \ \)及び\( \ 2 \ \)の電束密度の大きさをそれぞれ\( \ D_{1} \ \)及び\( \ D_{2} \ \)とし，電界の大きさをそれぞれ\( \ E_{1} \ \)及び\( \ E_{2} \ \)とすると， \[ \begin{eqnarray} D_{1}&=&\fbox {　 （１） 　} \ E_{1} \\[ 5pt ] D_{2}&=&\fbox {　 （２） 　} \ E_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray} \] である。次に，真電荷が存在しないことを考慮すると，ガウスの法則により，境界面に対する電束密度の垂直成分は等しく， \[ \begin{eqnarray} \fbox {　 （３） 　} \\[ 5pt ] \end{eqnarray} \] が成り立つ。さらに，境界面上の任意の点において誘電体1及び2の電位は同じであるため，電界の境界面に平行な成分は等しく， \[ \begin{eqnarray} E_{1}\sin \theta _{1}&=&E_{2}\sin \theta _{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray} \] が成り立つ。これにより，\( \ \theta _{1} \ \)，\( \ \theta _{2} \ \)，\( \ \varepsilon _{1} \ \)及び\( \ \varepsilon _{2} \ \)の関係式が \[ \begin{eqnarray} \fbox {　 （４） 　} \\[ 5pt ] \end{eqnarray} \] のように求められる。 \( \ \theta _{1} > \theta _{2} \ \)のとき，\( \ D_{1} \ \)と\( \ D_{2} \ \)の大小関係，\( \ E_{1} \ \)と\( \ E_{2} \ \)の大小関係は，それぞれ\( \ \fbox {　 （５） 　} \ \)である。

〔問1の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　D_{1} > D_{2}，E_{1} < E_{2}　　　&（ロ）&　\varepsilon _{2}　　　&（ハ）&　D_{1}\sin \theta _{1}=D_{2}\sin \theta _{2} \\[ 5pt ] &（ニ）&　\frac {\cos \theta _{2}}{\cos \theta _{1}}=\frac {\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{1}}　　　&（ホ）&　D_{1}\tan \theta _{1}=D_{2}\tan \theta _{2}　　　&（ヘ）&　\frac {\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}}{2} \\[ 5pt ] &（ト）&　\varepsilon _{1}　　　&（チ）&　\frac {\tan \theta _{2}}{\tan \theta _{1}}=\frac {\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{1}}　　　&（リ）&　\sqrt {\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}} \\[ 5pt ] &（ヌ）&　D_{1} = D_{2}，E_{1} < E_{2}　　　&（ル）&　D_{1}\tan \theta _{2}=D_{2}\tan \theta _{1}　　　&（ヲ）&　D_{1} < D_{2}，E_{1} > E_{2} \\[ 5pt ] &（ワ）&　D_{1}\cos \theta _{1}=D_{2}\cos \theta _{2}　　　&（カ）&　\frac {\sin \theta _{2}}{\sin \theta _{1}}=\frac {\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{1}}　　　&（ヨ）&　D_{1} = D_{2}
\end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

電束密度\( \ D \ \)と電界の大きさ\( \ E \ \)の関係式と三角関数の数学を使用します。さほど難易度が高い問題ではありませんが，似たような選択肢が多いので，ケアレスミスに注意して慎重に解く必要があります。

1.電束密度\( \ D \ \)と電界の大きさ\( \ E \ \)の関係式
電束密度\( \ D \ \)と電界の大きさ\( \ E \ \)は，空間の誘電率を\( \ \varepsilon \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
D&=&\varepsilon E \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があります。

2.三角関数の公式
三角関数の基本公式として，
\[
\begin{eqnarray}
\tan \theta &=&\frac {\sin \theta}{\cos \theta} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があります。

【解答】

(1)解答：ト
(2)解答：ロ
ワンポイント解説の「1.電束密度\( \ D \ \)と電界の大きさ\( \ E \ \)の関係式」より，
\[
\begin{eqnarray}
D_{1} &=&\varepsilon _{1}E_{1}　&・・・・・・・・・・・・　①& \\[ 5pt ] D_{2} &=&\varepsilon _{2}E_{2}　&・・・・・・・・・・・・　②& \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：ワ
誘電体\( \ 1 \ \)での電束密度の垂直成分は，\( \ D_{1}\cos \theta _{1} \ \)，誘電体\( \ 2 \ \)での電束密度の垂直成分は，\( \ D_{2}\cos \theta _{2} \ \)となるので，その垂直成分は等しいから，
\[
\begin{eqnarray}
D_{1}\cos \theta _{1}&=&D_{2}\cos \theta _{2}　&・・・・・・・　③& \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。

(4)解答：チ
①，②を③に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
\varepsilon _{1}E_{1}\cos \theta _{1}&=&\varepsilon _{2}E_{2}\cos \theta _{2} \ 　&・・・・・　④& \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。また，題意より,
\[
\begin{eqnarray}
E_{1}\sin \theta _{1}&=&E_{2}\sin \theta _{2}　&・・・・・・・・　⑤& \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，⑤\( \ \div \ \)④より，
\[
\begin{eqnarray}
\frac{\sin \theta _{1}}{\varepsilon _{1}\cos \theta _{1}} &=& \frac{\sin \theta _{2}}{\varepsilon _{2}\cos \theta _{2}} \\[ 5pt ] \frac{\tan \theta _{1}}{\varepsilon _{1}} &=& \frac{\tan \theta _{2}}{\varepsilon _{2}} \\[ 5pt ] \frac{\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{1}} &=& \frac{\tan \theta _{2}}{\tan \theta _{1}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答：イ
下図より\( \ 0 < \theta < 90° \ \)においては， \[ \begin{eqnarray} \sin \theta_{1} > \sin \theta_{2} 　及び\cos \theta_{1} < \cos \theta_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray} \] が成立する。③と⑤を変形すると， \[ \begin{eqnarray} \frac {D_{1}}{D_{2}}&=&\frac {\cos \theta _{2}　}{\cos \theta _{1}} ＞1　&・・・・・・　③^{\prime }& \\[ 5pt ] 　　 \frac {E_{1}}{E_{2}}&=&\frac {\sin \theta _{2}　}{\sin \theta _{1}} ＜1　&・・・・・・　⑤^{\prime }& \\[ 5pt ] 　　 \end{eqnarray} \] となるから，解答は，\( \ D_{1} ＞ D_{2}，E_{1} ＜ E_{2} \ \)となる。