《電力》〈配電〉[H21:問10]三相３線式高圧配電線路の電圧降下に関する計算問題

Contents

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★★★★☆（やや難しい）

こう長\( \ 2 \ \mathrm {[km]} \ \)の交流三相\( \ 3 \ \)線式の高圧配電線路があり，その端末に受電電圧\( \ 6 \ 500 \ \mathrm {[V]} \ \)，遅れ力率\( \ 80 \ \mathrm {[％]} \ \)で消費電力\( \ 400 \ \mathrm {[kW]} \ \)の三相負荷が接続されている。

いま，この三相負荷を力率\( \ 100 \ \mathrm {[％]} \ \)で消費電力\( \ 400 \ \mathrm {[kW]} \ \)のものに切り替えたうえで，受電電圧を\( \ 6 \ 500 \ \mathrm {[V]} \ \)に保つ。高圧配電線路での電圧降下は，三相負荷を切り替える前と比べて何倍になるか，最も近いのは次のうちどれか。

ただし，高圧配電線路の\( \ 1 \ \)線当たりの線路定数は，抵抗が\( \ 0.3 \ \mathrm {[\Omega / km]} \ \)，誘導性リアクタンスが\( \ 0.4 \ \mathrm {[\Omega / km]} \ \)とする。また，送電端電圧と受電端電圧との相差角は小さいものとする。

　(1)　\( \ 1.6 \ \)　　(2)　\( \ 1.3 \ \)　　(3)　\( \ 0.8 \ \)　　(4)　\( \ 0.6 \ \)　　(5)　\( \ 0.5 \ \)

【ワンポイント解説】

三相\( \ 3 \ \)線式配電線路の電圧降下に関する問題です。
どのように解いていくか少し迷う問題です。解説で説明しているように電圧降下の近似式を変形して\( \ \displaystyle \varepsilon =\frac {RP+XQ}{V_{\mathrm {r}}} \ \)とし解いていくのが最も早いと予想されますが，最初は線路電流を求めて導出していく解き方でも十分です。

1.配電線の電圧降下の近似式
本問は三相\( \ 3 \ \)線式配電線路の出題ですが，単相\( \ 2 \ \)線式の電圧降下の近似式も似たような式なので合わせて見ておきましょう。

①単相\( \ 2 \ \)線式送電線の電圧降下
単相\( \ 2 \ \)線式線路は図1のような回路になり，負荷に対して供給される線路と戻りの線路の\( \ 2 \ \)段階で電圧降下が発生します。したがって，負荷の力率が遅れ力率\( \ \cos \theta \ \)であるときのベクトル図を描くと図2のようになります。
図2のベクトル図において，\( \ {\dot V}_{\mathrm {s}} \ \)と\( \ {\dot V}_{\mathrm {r}} \ \)の位相差が十分に小さいと仮定すると，線路の電圧降下\( \ \varepsilon =V_{\mathrm {s}}-V_{\mathrm {r}} \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {s}}&≃&V_{\mathrm {r}}+2RI\cos \theta +2XI\sin \theta \\[ 5pt ] V_{\mathrm {s}}-V_{\mathrm {r}}&=&2RI\cos \theta +2XI\sin \theta \\[ 5pt ] \varepsilon &=&2I\left( R\cos \theta +X\sin \theta \right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められます。

②三相\( \ 3 \ \)線式送電線の電圧降下
三相回路においては，一相分の等価回路及びベクトル図は図3及び図4のように描くことができ，三相分の電圧降下\( \ \varepsilon \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {V_{\mathrm {s}}}{\sqrt {3}}&≃&\frac {V_{\mathrm {r}}}{\sqrt {3}}+RI\cos \theta +XI\sin \theta \\[ 5pt ] \frac {V_{\mathrm {s}}}{\sqrt {3}}-\frac {V_{\mathrm {r}}}{\sqrt {3}}&=&RI\cos \theta +XI\sin \theta \\[ 5pt ] V_{\mathrm {s}}-V_{\mathrm {r}}&=&\sqrt {3}\left( RI\cos \theta +XI\sin \theta \right) \\[ 5pt ] \varepsilon &=&\sqrt {3}I\left( R\cos \theta +X\sin \theta \right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められます。

2.線路の有効電力\( \ P \ \)
①単相\( \ 2 \ \)線式
単相\( \ 2 \ \)線式の配電線の線間電圧が\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)，線電流が\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)，電圧と電流の力率が\( \ \cos \theta \ \)であるとき，送電電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P &=&VI\cos \theta \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

②三相\( \ 3 \ \)線式
三相\( \ 3 \ \)線式の配電線の線間電圧が\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)，線電流が\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)，電圧と電流の力率が\( \ \cos \theta \ \)であるとき，送電電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P &=&\sqrt {3}VI\cos \theta \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

解答：(5)
送電線\( \ 1 \ \)線当たりの抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)とリアクタンス\( \ X \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，こう長が\( \ 2 \ \mathrm {km} \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
R&=&0.3\times 2 \\[ 5pt ] &=&0.6 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] X&=&0.4\times 2 \\[ 5pt ] &=&0.8 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。また，切り替え前の負荷の力率\( \ \cos \theta =0.8 \ \)であるので，
\[
\begin{eqnarray}
\sin \theta &=&\sqrt {1-\cos ^{2} \theta } \\[ 5pt ] &=&\sqrt {1-0.8 ^{2} } \\[ 5pt ] &=&0.6 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，切り替え前の負荷の無効電力\( \ Q_{1} \ \mathrm {[kvar]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Q_{1} &=&P\tan \theta \\[ 5pt ] &=&P\cdot \frac {\sin \theta }{\cos \theta } \\[ 5pt ] &=&400\times \frac {0.6}{0.8} \\[ 5pt ] &=&300 \ \mathrm {[kvar]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。電圧降下の近似式を変形すると，
\[
\begin{eqnarray}
\varepsilon &=&\sqrt {3}I\left( R\cos \theta +X\sin \theta \right) \\[ 5pt ] &=&R\cdot \sqrt {3}I\cos \theta +X\cdot \sqrt {3}I\sin \theta \\[ 5pt ] &=&\frac {R\cdot \sqrt {3}V_{\mathrm {r}}I\cos \theta +X\cdot \sqrt {3}V_{\mathrm {r}}I\sin \theta }{V_{\mathrm {r}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {RP+XQ}{V_{\mathrm {r}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるので，負荷切り替え前の電圧降下\( \ \varepsilon _{1} \ \mathrm {[V]} \ \)と負荷切り替え後の電圧降下\( \ \varepsilon _{2} \ \mathrm {[V]} \ \)の比は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{1}}&=&\frac {\displaystyle \frac {RP+XQ_{2}}{V_{\mathrm {r}}}}{\displaystyle \frac {RP+XQ_{1}}{V_{\mathrm {r}}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {RP+XQ_{2}}{RP+XQ_{1}} \\[ 5pt ] &=&\frac {0.6\times 400\times 10^{3}+0.8\times 0}{0.6\times 400\times 10^{3}+0.8\times 300\times 10^{3}} \\[ 5pt ] &=&\frac {240\times 10^{3}}{480\times 10^{3}} \\[ 5pt ] &=&0.5 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。