《電力》〈配電〉[H30:問13]高圧配電線の力率の導出に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

三相3線式高圧配電線で力率\(\cos \phi _{1}=0.76\)(遅れ)，負荷電力\( \ P_{1} \ \mathrm {[kW]} \ \)の三相平衡負荷に電力を供給している。三相平衡負荷の電力が\( \ P_{2} \ \mathrm {[kW]} \ \)，力率が\(\cos \phi _{2}\)(遅れ)に変化したが線路損失は変わらなかった。\( \ P_{1} \ \)が\( \ P_{2} \ \)の\(0.8\)倍であったとき，負荷電力が変化した後の力率\(\cos \phi _{2}\)(遅れ)の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし，負荷の端子電圧は変わらないものとする。

　(1)　\(0.61\)　　(2)　\(0.68\)　　(3)　\(0.85\)　　(4)　\(0.90\)　　(5)　\(0.95\)

【ワンポイント解説】

一方の負荷電力と力率のみから他方の力率を求める問題で，受験生を惑わすような問題と言えます。計算自体はそれほど難しくないので，基本公式を利用して解くようにしましょう。

1.三相交流回路の電力\(P\)
平衡三相回路の負荷の消費電力\(P\)は，線間電圧\(V\)，線電流\(I\)，負荷の力率\(\cos \theta \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
P &=&\sqrt {3}VI\cos \theta \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。

2.三相負荷の消費電力\(W\)
三相平衡負荷\(\dot Z=R+jX\)に電流\(I\)が流れた時の消費電力\(W\)は，
\[
\begin{eqnarray}
W &=&3RI^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。

【解答】

解答：(5)
負荷の端子電圧を\(V\)，力率\( \ \cos \phi _{1} \ \)の時の電流を\( \ I_{1} \ \)，力率\( \ \cos \phi _{2} \ \)の時の電流を\( \ I_{2} \ \)とする。
ワンポイント解説「2.三相負荷の消費電力\(W\)」より，力率\( \ \cos \phi _{1} \ \)の時の消費電力\( \ W_{1} \ \)及び力率\( \ \cos \phi _{2} \ \)の時の消費電力\( \ W_{2} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
W_{1} &=&3RI_{1}^{2} \\[ 5pt ] W_{2} &=&3RI_{2}^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。題意より。\( \ W_{1}=W_{2} \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
3RI_{1}^{2}&=&3RI_{2}^{2} \\[ 5pt ] I_{1}&=&I_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。また，ワンポイント解説「1.三相交流回路の電力\(P\)」より，力率\( \ \cos \phi _{1} \ \)の時の電力\( \ P_{1} \ \)及び力率\( \ \cos \phi _{2} \ \)の時の電力\( \ P_{2} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{1} &=&\sqrt {3}VI_{1}\cos \phi _{1} \\[ 5pt ] P_{2} &=&\sqrt {3}VI_{2}\cos \phi _{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。題意より\( \ P_{1}=0.8P_{2} \ \)であり，\(I_{1}=I_{2}\)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
P_{1} &=&0.8P_{2} \\[ 5pt ] \sqrt {3}VI_{1}\cos \phi _{1} &=&0.8\times \sqrt {3}VI_{2}\cos \phi _{2} \\[ 5pt ] \cos \phi _{1} &=&0.8\times \cos \phi _{2} \\[ 5pt ] \cos \phi _{2} &=&\frac {\cos \phi _{1}}{0.8} \\[ 5pt ] &=&\frac {0.76}{0.8} \\[ 5pt ] &=&0.95 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。