《電力》〈変電〉[H28:問6]変圧器の並行運転時の過負荷容量に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

一次側定格電圧と二次側定格電圧がそれぞれ等しい変圧器\( \ \mathrm{A} \ \)と変圧器\( \ \mathrm{B} \ \)がある。変圧器\( \ \mathrm{A} \ \)は，定格容量\( \ S_{\mathrm{A}} \ \mathrm{=5000kV\cdot A } \ \)，パーセントインピーダンス\( \ ％Z_{\mathrm{A}} \ \mathrm{=9.0％ } \ \) (自己容量ベース)，変圧器\( \ \mathrm{B} \ \)は，定格容量\( \ S_{\mathrm{B}} \ \mathrm{= \ 1500 \ kV\cdot A } \ \)，パーセントインピーダンス\( \ ％Z_{\mathrm{B}} \ \mathrm{=7.5 \ ％ } \ \) (自己容量ベース)である。この変圧器\( \ 2 \ \)台を並行運転し，\( \ \mathrm{6000 \ kV\cdot A } \ \)の負荷に供給する場合，過負荷となる変圧器とその変圧器の過負荷運転状態\( \ \mathrm{ [ ％ ] } \ \) (当該変圧器が負担する負荷の大きさをその定格容量に対する百分率で表した値) の組合せとして，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
\[
\begin{array}{ccc}
& 過負荷となる変圧器 & 過負荷運転状態 \ \mathrm {[％]} \\
\hline
(1) & 変圧器 \ \mathrm {A} & 101.5 \\
\hline
(2) & 変圧器 \ \mathrm {B} & 105.9 \\
\hline
(3) & 変圧器 \ \mathrm {A} & 118.2 \\
\hline
(4) & 変圧器 \ \mathrm {B} & 137.5 \\
\hline
(5) & 変圧器 \ \mathrm {A} & 173.5 \\
\hline
\end{array}
\]

【ワンポイント解説】

パーセントインピーダンスの問題は慣れるまでは分かりにくいですが，慣れてしまえば他の回路計算とそれほど変わらず解けるようになります。二種以上を目指す場合には故障計算で必要となりますので，容量基準を揃えた場合のパーセントインピーダンスの計算はマスターしておいて下さい。

1.パーセントインピーダンスの定義
基準電圧を\( \ V_{\mathrm{n}} \ \)，基準電流を\( \ I_{\mathrm{n}} \ \)，基準容量を\( \ P_{\mathrm{n}}=\sqrt {3}V_{\mathrm{n}}I_{\mathrm{n}} \ \)とすると，パーセントインピーダンス\( \ ％Z \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
％Z &=&\frac {ZI_{\mathrm{n}}}{\displaystyle \frac {V_{\mathrm{n}}}{\sqrt {3}}}\times 100 \ \mathrm {[ ％ ]}　(定義) \\[ 5pt ] &=&\frac {\sqrt {3}ZI_{\mathrm{n}}}{V_{\mathrm{n}}}\cdot \frac {V_{\mathrm{n}}}{V_{\mathrm{n}}}\times 100 \ \mathrm {[ ％ ]} \\[ 5pt ] &=&\frac {P_{\mathrm{n}}Z}{V_{\mathrm{n}}^{2}}\times 100 \ \mathrm {[ ％ ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.容量ベースを変更する場合の計算
上記\( \ 1 \ \)にて\( \ ％Z \ \)が\( \ P_{\mathrm{n}} \ \)に比例することを証明したので，\( \ ％Z \ \)を容量\( \ P_{\mathrm{A}} \ \)から容量\( \ P_{\mathrm{B}} \ \)に変換した\( \ ％Z^{\prime } \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
％Z^{\prime }&=&\frac {P_{\mathrm{B}}}{P_{\mathrm{A}}}\times ％Z \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められます。

【解答】

解答：(2)
問題の内容を図に示すと下図のようになる。

変圧器\( \ \mathrm{B} \ \)のパーセントインピーダンス\( \ ％Z_{\mathrm{B}}\mathrm{=7.5 \ ％ } \ \)を変圧器\( \ \mathrm{A} \ \)と同じ\( \ \mathrm {5000 \ kV\cdot A} \ \)ベースのインピーダンス\( \ ％Z_{B}^{\prime } \ \)に変更すると，
\[
\begin{eqnarray}
％Z_{B}^{\prime }&=&\frac {5000}{1500}\times 7.5 \\[ 5pt ] &=&25 \ \mathrm {[ ％ ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって，それぞれの変圧器が負担する容量\( \ P_{\mathrm{A}} \ \)と\( \ P_{\mathrm{B}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm{A}}&=&6000 \times \frac {％Z_{\mathrm{B}}^{\prime }}{％Z_{\mathrm{A}}+％Z_{\mathrm{B}}^{\prime }} \\[ 5pt ] &=&6000 \times \frac {25}{9.0 +25} \\[ 5pt ] &≒&4412 \ \mathrm {[ kV\cdot A ]}
\end{eqnarray}
\] \[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm{B}}&=&6000 \times \frac {％Z_{\mathrm{A}}}{％Z_{\mathrm{A}}+％Z_{\mathrm{B}}^{\prime }} \\[ 5pt ] &=&6000 \times \frac {9.0}{9.0 +25} \\[ 5pt ] &≒&1588 \ \mathrm {[ kV\cdot A ]}
\end{eqnarray}
\] となる。従って，過負荷となる変圧器は変圧器\( \ \mathrm{B} \ \)であり，その過負荷運転状態\( \ \mathrm{ [ ％ ] } \ \) は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {1588}{1500}\times 100 &≒& 105.9 \ \mathrm{ [ ％ ] }
\end{eqnarray}
\] と求められる。