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【問題】
【難易度】★★★★☆(やや難しい)
こう長\( \ 20 \ \mathrm {km} \ \)の三相\( \ 3 \ \)線式\( \ 2 \ \)回線の送電線路がある。受電端で\( \ 33 \ \mathrm {kV} \ \),\( \ 6 \ 600 \ \mathrm {kW} \ \),力率\( \ 0.9 \ \)の三相負荷に供給する場合,受電端電力に対する送電損失を\( \ 5 \ \mathrm {%} \ \)以下にするための電線の最小断面積の値\( \ \mathrm {[{mm}^{2}]} \ \)として,計算値が最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
ただし,使用電線は,断面積\( \ 1 \ \mathrm {{mm}^{2}} \ \),長さ\( \ 1 \ \mathrm {m} \ \)当たりの抵抗を\( \ \displaystyle \frac {1}{35}\mathrm {\Omega } \ \)とし,その他の条件は無視する。
(1) \( \ 14.3 \ \) (2) \( \ 23.4 \ \) (3) \( \ 24.7 \ \) (4) \( \ 42.8 \ \) (5) \( \ 171 \ \)
【ワンポイント解説】
三相\( \ 3 \ \)線式で\( \ 2 \ \)回線であること,抵抗率の公式を使用すること等,問題文の正しい読解力と計算力を必要とする問題です。
本問は平成24年問10からの再出題でしたので,過去問を学習ししっかりと理解された方が圧倒的に有利な問題でした。
1.三相\( \ 3 \ \)線式線路の有効電力\( \ P \ \)
三相\( \ 3 \ \)線式の送電線の線間電圧が\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \),線電流が\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \),電圧と電流の力率が\( \ \cos \theta \ \)であるとき,送電電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
P &=&\sqrt {3}VI\cos \theta \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
2.抵抗率\( \ \rho \ \)
送電線の断面積\( \ 1 \ \mathrm {[{m}^{2}]} \ \)及び長さ\( \ 1 \ \mathrm {[m]} \ \)当たりの抵抗値\( \ \rho \ \mathrm {[\Omega \cdot m]} \)が与えられている時,断面積\( \ S \ \mathrm {[{m}^{2}]} \ \),長さ\( \ l \ \mathrm {[m]} \ \)の送電線の抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega]} \)の大きさは,
\[
\begin{eqnarray}
R &=&\frac {\rho l}{S} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
【解答】
解答:(4)
題意より,受電端での電圧\( \ V_{\mathrm {r}}=33 \ \mathrm {[kV]} \ \),電力\( \ P_{\mathrm {r}}=6600 \ \mathrm {[kW]} \ \),力率\( \ \cos \theta =0.9 \ \)であるから,三相負荷を流れる電流\( \ I_{\mathrm {L}} \ \mathrm {[A]} \ \)は,ワンポイント解説「1.三相\( \ 3 \ \)線式の有効電力\( \ P \ \)」より,
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {r}} &=&\sqrt {3}V_{\mathrm {r}}I_{\mathrm {L}}\cos \theta \\[ 5pt ]
I_{\mathrm {L}} &=&\frac {P_{\mathrm {r}}}{\sqrt {3}V_{\mathrm {r}}\cos \theta } \\[ 5pt ]
&=&\frac {6 \ 600\times 10^{3}}{\sqrt {3}\times 33\times 10^{3}\times 0.9 } \\[ 5pt ]
&≒&128.3 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
である。したがって,送電線\( \ 1 \ \)回線当たりの電流の大きさ\( \ I_{\mathrm {l}} \ \mathrm {[A]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {l}} &=&\frac {I_{\mathrm {L}}}{2} \\[ 5pt ]
&=&\frac {128.3}{2} \\[ 5pt ]
&≒&64.15 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。また,送電線\( \ 1 \ \)線当たりの抵抗値\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は,断面積を\( \ S \ \mathrm {[{mm}^{2}]} \ \)とすると,ワンポイント解説「2.抵抗率\( \ \rho \ \)」より,
\[
\begin{eqnarray}
R &=&\frac {\rho l}{S} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle \frac {1}{35} \times 20\times 10^{3}}{S} \\[ 5pt ]
&≒&\frac {571.4}{S} \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり,送電線の損失\( \ P_{\mathrm {l}} \ \mathrm {[kW]} \ \)は,三相\( \ 3 \ \)線式\( \ 2 \ \)回線であることに注意すると,
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {l}} &=&2\times 3RI_{\mathrm {l}}^{2} \\[ 5pt ]
&=&6\times \frac {571.4}{S} \times 64.15^{2} \\[ 5pt ]
&≒&\frac {14 \ 110 \ 000}{S} \ \mathrm {[W]} → \frac {14 \ 110}{S} \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。題意より,この値が受電電力の\( \ 5 \ \mathrm {[%]} \ \)以下にならなければならないので,
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {l}} &=&0.05 P_{\mathrm {r}} \\[ 5pt ]
\frac {14 \ 110}{S}&=&0.05 \times 6 \ 600 \\[ 5pt ]
\frac {14 \ 110}{S}&=&330 \\[ 5pt ]
S&≒&42.8 \ \mathrm {[{mm}^{2}]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
