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【問題】
【難易度】★★★☆☆(普通)
ある需要家設備において定格容量\( \ 30 \ \mathrm {[kV\cdot A]} \ \),鉄損\( \ 90 \ \mathrm {[W]} \ \)及び全負荷銅損\( \ 550 \ \mathrm {[W]} \ \)の単相変圧器が設置してある。ある1日の負荷は,
\( \ 24 \ \mathrm {[kW]} \ \),力率\( \ 80 \ \mathrm {[%]} \ \)で\( \ 4 \ \)時間
\( \ 15 \ \mathrm {[kW]} \ \),力率\( \ 90 \ \mathrm {[%]} \ \)で\( \ 8 \ \)時間
\( \ 10 \ \mathrm {[kW]} \ \),力率\( \ 100 \ \mathrm {[%]} \ \)で\( \ 6 \ \)時間
無負荷で\( \ 6 \ \)時間
であった。この日の変圧器に関して,次の(a)及び(b)の問に答えよ。
(a) この変圧器の全日効率\( \ \mathrm {[%]} \ \)の値として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
(1) \( \ 97.4 \ \) (2) \( \ 97.6 \ \) (3) \( \ 97.8 \ \) (4) \( \ 98.0 \ \) (5) \( \ 98.2 \ \)
(b) この変圧器の日負荷率\( \ \mathrm {[%]} \ \)の値として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
(1) \( \ 38 \ \) (2) \( \ 48 \ \) (3) \( \ 61 \ \) (4) \( \ 69 \ \) (5) \( \ 77 \ \)
【ワンポイント解説】
変圧器の有効利用を模した効率や負荷率に関する問題です。
慣れてしまうと確実に得点できる問題となります。点数差が開きやすい問題となりますので,公式をよく理解して試験本番に臨むようにして下さい。
1.有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)と無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)
抵抗で消費される電力を有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \),リアクタンスで消費もしくは供給される電力を無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)と呼び,図1のようにベクトル図を描きます。さらに,有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)と無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)のベクトル和は皮相電力\( \ S \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)と呼ばれ,
\[
\begin{eqnarray}
S&=&\sqrt {P^{2}+Q^{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係があります。図1において,力率は\( \ \cos \theta \ \)で定義され,
\[
\begin{eqnarray}
\cos \theta &=&\frac {P}{S} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
2.変圧器の効率\( \ \eta \ \)
変圧器の損失は鉄損\( \ p_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[W]} \ \)と銅損\( \ p_{\mathrm {c}} \ \mathrm {[W]} \ \)があり,\( \ p_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[W]} \ \)は負荷によらず一定であり,\( \ p_{\mathrm {c}} \ \mathrm {[W]} \ \)は負荷(電流)の\( \ 2 \ \)乗に比例します。従って,定格出力\( \ P_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[W]} \ \)で利用率\( \ \alpha \ \)の時の変圧器の効率\( \ \eta \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {出力}{入力} \\[ 5pt ]
&=&\frac {出力}{出力+損失} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\alpha P_{\mathrm {n}}}{\alpha P_{\mathrm {n}}+p_{\mathrm {i}}+\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
3.負荷率の定義
変圧器の負荷率は以下の式で定義されます。
\[
\begin{eqnarray}
負荷率 &=&\frac {平均需要電力}{最大需要電力}\times 100 \mathrm {[%]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【解答】
(a)解答:(3)
各出力と力率を,
\( \ P_{\mathrm {1}}=24 \ \mathrm {[kW]} \ \),\( \ \cos \theta _{\mathrm {1}}=0.8 \ \)
\( \ P_{\mathrm {2}}=15 \ \mathrm {[kW]} \ \),\( \ \cos \theta _{\mathrm {2}}=0.9 \ \)
\( \ P_{\mathrm {3}}=10 \ \mathrm {[kW]} \ \),\( \ \cos \theta _{\mathrm {2}}=1 \ \)
\( \ P_{\mathrm {4}}=0 \ \mathrm {[kW]} \ \)
とおく。ワンポイント解説「1.有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)と無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)」の通り,\( \ P_{\mathrm {1}} \ \),\( \ P_{\mathrm {2}} \ \),\( \ P_{\mathrm {3}} \ \)の皮相電力\( \ S_{\mathrm {1}} \ \),\( \ S_{\mathrm {2}} \ \),\( \ S_{\mathrm {3}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
S_{\mathrm {1}} &=&\frac {P_{\mathrm {1}}}{\cos \theta _{\mathrm {1}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {24}{0.8} \\[ 5pt ]
&=&30 \ \mathrm {[kV\cdot A]} \\[ 5pt ]
S_{\mathrm {2}} &=&\frac {P_{\mathrm {2}}}{\cos \theta _{\mathrm {2}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {15}{0.9} \\[ 5pt ]
&≒&16.67 \ \mathrm {[kV\cdot A]} \\[ 5pt ]
S_{\mathrm {3}} &=&\frac {P_{\mathrm {3}}}{\cos \theta _{\mathrm {3}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {10}{1} \\[ 5pt ]
&=&10 \ \mathrm {[kV\cdot A]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。これと定格容量\( \ S_{\mathrm {n}}=30 \ \mathrm {[kV\cdot A]} \ \)及び全負荷銅損\( \ p_{\mathrm {c}}=550 \ \mathrm {[W]} \ \)より,\( \ P_{\mathrm {1}} \ \),\( \ P_{\mathrm {2}} \ \),\( \ P_{\mathrm {3}} \ \)の時の銅損\( \ p_{\mathrm {c1}} \ \),\( \ p_{\mathrm {c2}} \ \),\( \ p_{\mathrm {c3}} \ \)は,銅損が負荷の\( \ 2 \ \)乗に比例することから,
\[
\begin{eqnarray}
p_{\mathrm {c1}} &=&\left( \frac {S_{\mathrm {1}}}{S_{\mathrm {n}}}\right) ^{2}p_{\mathrm {c}} \\[ 5pt ]
&=&\left( \frac {30}{30}\right) ^{2}\times 550 \\[ 5pt ]
&=&550 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ]
p_{\mathrm {c2}} &=&\left( \frac {S_{\mathrm {2}}}{S_{\mathrm {n}}}\right) ^{2}p_{\mathrm {c}} \\[ 5pt ]
&=&\left( \frac {16.67}{30}\right) ^{2}\times 550 \\[ 5pt ]
&≒&169.8 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ]
p_{\mathrm {c3}} &=&\left( \frac {S_{\mathrm {3}}}{S_{\mathrm {n}}}\right) ^{2}p_{\mathrm {c}} \\[ 5pt ]
&=&\left( \frac {10}{30}\right) ^{2}\times 550 \\[ 5pt ]
&≒&61.11 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。以上より全日効率\( \ \eta \ \mathrm {[%]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {P_{\mathrm {1}}\times 4 +P_{\mathrm {2}}\times 8+P_{\mathrm {3}}\times 6}{\left( P_{\mathrm {1}}\times 4 +P_{\mathrm {2}}\times 8+P_{\mathrm {3}}\times 6\right) +p_{\mathrm {i}}\times 24+\left( p_{\mathrm {c1}}\times 4 +p_{\mathrm {c2}}\times 8+p_{\mathrm {c3}}\times 6\right) }\times 100 \\[ 5pt ]
&=&\frac {24\times 10^{3}\times 4 +15\times 10^{3}\times 8+10\times 10^{3}\times 6}{\left( 24\times 10^{3}\times 4 +15\times 10^{3}\times 8+10\times 10^{3}\times 6\right) +90\times 24+\left( 550\times 4 +169.8\times 8+61.11\times 6\right) }\times 100 \\[ 5pt ]
&≒&\frac {276000}{276000+2160+3925}\times 100 \\[ 5pt ]
&≒&97.8 \ \mathrm {[%]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(b)解答:(2)
1日の平均需要電力\( \ P_{\mathrm {av}} \ \mathrm {[kW]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {av}} &=&\frac {P_{\mathrm {1}}\times 4 +P_{\mathrm {2}}\times 8+P_{\mathrm {3}}\times 6}{24} \\[ 5pt ]
&=&\frac {24\times 4 +15\times 8+10\times 6}{24} \\[ 5pt ]
&=&11.5 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であり,最大需要電力は\( \ P_{\mathrm {1}}=24 \ \mathrm {[kW]} \ \)であるから,日負荷率はワンポイント解説「3.負荷率の定義」の通り,
\[
\begin{eqnarray}
負荷率 &=&\frac {P_{\mathrm {av}}}{P_{\mathrm {1}}}\times 100 \mathrm {[%]} \\[ 5pt ]
&=&\frac {11.5}{24}\times 100 \mathrm {[%]} \\[ 5pt ]
&≒&47.9 \ \mathrm {[%]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。