《機械》〈電動機応用〉[H18:問10]水を汲み上げるのに必要な電動機入力に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

電動機で駆動するポンプを用いて，毎時\( \ 100 \ \mathrm {[m^{3}]} \ \)の水を揚程\( \ 50 \ \mathrm {[m]} \ \)の高さに持ち上げる。ポンプの効率は\( \ 74 \ \mathrm {[％]} \ \)，電動機の効率は\( \ 92 \ \mathrm {[％]} \ \)で，パイプの損失水頭は\( \ 0.5 \ \mathrm {[m]} \ \)であり，他の損失水頭は無視できるものとする。このとき必要な電動機入力\( \ \mathrm {[kW]} \ \)の値として，最も近いのは次のうちどれか。

　(1)　\( \ 18.4 \ \)　　(2)　\( \ 18.6 \ \)　　(3)　\( \ 20.2 \ \)　　(4)　\( \ 72.7 \ \)　　(5)　\( \ 74.1 \ \)

【ワンポイント解説】

水を汲み上げるのに必要な電動機入力を求める問題です。
電動機応用の問題ですが，実質的には電力科目の水力で学習する揚水発電の内容を問うものとなっています。
電力科目でも必須となる公式ですので，ここでしっかりと理解しておきましょう。

1.揚水発電所の諸公式
揚水発電で使用される諸公式は以下の通りです。本問で使用しない公式も覚えておくようにしましょう。

①発電電力
有効落差　：\( \ H=H_{0}-h_{\mathrm {G}} \ \mathrm {[ m ] } \ \)
発電機出力：\( \ P_{\mathrm {G}}=9.8Q_{\mathrm {G}}H\eta _{\mathrm {T}}\eta _{\mathrm {G}} \ \mathrm {[ kW ] } \ \)
総発電量　：\( \ W_{\mathrm {G}}=P_{\mathrm {G}}T_{\mathrm {G}} \ \mathrm {[ kW\cdot h ] } \ \)

ただし，\( \ H_{0} \ \)は総落差\( \ \mathrm {[m]} \ \)，\( \ h_{\mathrm {G}} \ \)は発電時の損失水頭\( \ \mathrm {[m]} \ \)，\( \ Q_{\mathrm {G}} \ \)は発電時の流量\( \ \mathrm {[m^{3} / s]} \ \)，\( \ \eta _{\mathrm {T}} \ \)は水車効率，\( \ \eta _{\mathrm {G}} \ \)は発電機効率，\( \ T_{\mathrm {G}} \ \)は発電時間\( \ \mathrm {[h]} \ \)

②揚水動力
必要揚程　：\( \ \displaystyle H_{\mathrm {P}}=H_{0}+h_{\mathrm {P}} \ \mathrm {[ m ] } \ \)
所要動力　：\( \ \displaystyle P_{\mathrm {M}}=\frac { 9.8Q_{\mathrm {P}}H_{\mathrm {P}}}{\eta _{\mathrm {P}}\eta _{\mathrm {M}} } \ \mathrm {[ kW ] } \ \)
所要電力量：\( \ W_{\mathrm {M}}=P_{\mathrm {M}}T_{\mathrm {M}} \ \mathrm {[ kW\cdot h ] } \ \)

ただし，\( \ H_{0} \ \)は総落差\( \ \mathrm {[m]} \ \)，\( \ h_{\mathrm {P}} \ \)は揚水時の損失水頭\( \ \mathrm {[m]} \ \)，\( \ Q_{\mathrm {P}} \ \)は揚水時の流量\( \ \mathrm {[m^{3} / s]} \ \)，\( \ \eta _{\mathrm {P}} \ \)はポンプ効率，\( \ \eta _{\mathrm {M}} \ \)は電動機効率，\( \ T_{\mathrm {M}} \ \)は揚水時間\( \ \mathrm {[h]} \ \)

③揚水総合効率
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {W_{\mathrm {G}}}{W_{\mathrm {M}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {9.8Q_{\mathrm {G}}H\eta _{\mathrm {T}}\eta _{\mathrm {G}}T_{\mathrm {G}}}{\displaystyle \frac { 9.8Q_{\mathrm {P}}H_{\mathrm {P}}}{\eta _{\mathrm {P}}\eta _{\mathrm {M}} }T_{\mathrm {M}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {Q_{\mathrm {G}}HT_{\mathrm {G}}}{Q_{\mathrm {P}}H_{\mathrm {P}}T_{\mathrm {M}}}\eta _{\mathrm {T}}\eta _{\mathrm {G}}\eta _{\mathrm {P}}\eta _{\mathrm {M}} \\[ 5pt ] &=&\frac {H}{H_{\mathrm {P}}}\eta _{\mathrm {T}}\eta _{\mathrm {G}}\eta _{\mathrm {P}}\eta _{\mathrm {M}}　\left( ∵ Q_{\mathrm {G}}T_{\mathrm {G}}\times 3 \ 600=Q_{\mathrm {P}}T_{\mathrm {M}}\times 3 \ 600\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【解答】

解答：(3)
毎時\( \ 100 \ \mathrm {[m^{3}]} \ \)なので，\( \ 1 \ \)秒あたりの流量\( \ Q_{P} \ \mathrm {[m^{3} / s]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Q_{P} &=&\frac {100}{3 \ 600} \\[ 5pt ] &≒&0.027 \ 78 \ \mathrm {[m^{3} / s]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，必要揚程\( \ H_{P} \ \mathrm {[m]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
H_{P} &=&50+0.5 \\[ 5pt ] &=&50.5 \ \mathrm {[m]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって，ポンプ効率が\( \ \eta _{P}=0.74 \ \)，電動機効率が\( \ \eta _{M}=0.92 \ \)なので，必要な電動機入力\( \ P_{M} \ \mathrm {[kW]} \ \)は，ワンポイント解説「1.揚水発電所の諸公式」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
P_{M} &=&\frac { 9.8Q_{P}H_{P}}{\eta _{P}\eta _{M} } \\[ 5pt ] &=&\frac { 9.8\times 0.027 \ 78\times 50.5}{0.74\times 0.92 } \\[ 5pt ] &≒&20.2 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。