《機械》〈照明〉[H18:問17]直線光源の光束発散度と床面での水平面照度に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆（やや難しい）

管径\( \ 36 \ \mathrm {[mm]} \ \)の完全拡散性無限長直線光源を床面上\( \ 3 \ \mathrm {[m]} \ \)の高さに床面と平行に配置した。光源からは単位長当たり\( \ 3 \ 000 \ \mathrm {[lm / m]} \ \)の光束を一様に発散しているものとして，次の(a)及び(b)に答えよ。

(a)　直線光源の光束発散度\( \ M \ \mathrm {[lm / m^{2}]} \ \)の値として，最も近いのは次のうちどれか。

　(1)　\( \ 4.2\times 10^{3} \ \)　　(2)　\( \ 8.4\times 10^{3} \ \)　　(3)　\( \ 26.5\times 10^{3} \ \)
　(4)　\( \ 74.7\times 10^{3} \ \)　　(5)　\( \ 83.3\times 10^{3} \ \)　

(b)　光源直下の床面の水平面照度\( \ E_{h} \ \mathrm {[lx]} \ \)の値として，最も近いのは次のうちどれか。

　(1)　\( \ 80 \ \)　　(2)　\( \ 159 \ \)　　(3)　\( \ 239 \ \)　　(4)　\( \ 318 \ \)　　(5)　\( \ 333 \ \)　

【ワンポイント解説】

直線光源の光束発散度と光源による床面での水平面照度を求める問題です。
電験でよく出題される水平面照度の問題とは少し切り口を変えた問題で，光束発散度は出題も少ないので，多くの受験生が迷った問題かと思います。
計算自体は少ないので，しっかりと理解すれば解けるようになります。

1.光束\( \ F \ \)
光源から出る可視光の量（エネルギー）で，単位は\( \ \mathrm {[lm]} \ \)となります。
電磁気の分野の電束に似たようなイメージで良いです。

2.立体角の定義
図2のように球体があり，半径\( \ r \ \mathrm {[m]} \ \)の錐体が球面を切り取った時の面積を\( \ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ \)とすると，立体角\( \ \omega \ \mathrm {[sr]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\omega &=&\frac {S}{r^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，平面角\( \ \theta \ \mathrm {[rad]} \ \)で表すと，
\[
\begin{eqnarray}
\omega &=&2\pi \left( 1-\cos \theta \right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。球全体の立体角は\( \ \theta = \pi \ \)の時であり，\( \ \omega =4\pi \ \)となります。

3.光度\( \ I \ \)
ある方向に向かう光束\( \ F \ \mathrm {[lm]} \ \)を立体角\( \ \omega \ \mathrm {[sr]} \ \)で割ったもので，光度\( \ I \ \mathrm {[cd]} \ \)を式で表すと，
\[
\begin{eqnarray}
I &=&\frac {F}{\omega } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

4.照度\( \ E \ \)
単位面積あたりの光束で単位は\( \ \mathrm {[lx]} \ \)で，図4のように光源から面積\( \ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ \)の面に入射する光束が\( \ F \ \mathrm {[lm]} \ \)であるとき，平均照度\( \ E \ \mathrm {[lx]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
E&=&\frac {F}{S} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。
また，光源からある方向へ向かう光度が\( \ I \ \mathrm {[cd]} \ \)であるとき，光源からの距離\( \ l \ \mathrm {[m]} \ \)離れた垂直面の照度\( \ E \ \mathrm {[lx]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
E&=&\frac {I}{l^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められます。このように，一般に物理量が\( \ 2 \ \)乗に反比例する法則を逆\( \ 2 \ \)乗の法則といいます。

5.光束発散度\( \ M \ \)
光源・反射面・透過面等の単位面積あたりから発散する光束をいい，面積\( \ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ \)から発散する光束を\( \ F \ \mathrm {[lm]} \ \)とすると，光束発散度\( \ M \ \mathrm {[lm/m^{2}]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
M&=&\frac {F}{S} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

(a)解答：(3)
直線光源から出る光束のイメージの断面図は図6のようになる。
単位長当たりの光源の側面積\( \ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
S&=&\pi D \times 1 \\[ 5pt ] &=&\pi\times 36\times 10^{-3} \times 1 \\[ 5pt ] &≒&113.1\times 10^{-3} \ \mathrm {[m^{2}]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，光束発散度\( \ M \ \mathrm {[lm / m^{2}]} \ \)は，ワンポイント解説「5.光束発散度\( \ M \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
M&=&\frac {F}{S} \\[ 5pt ] &=&\frac {3 \ 000}{113.1\times 10^{-3}} \\[ 5pt ] &≒&26.5 \times 10^{3} \ \mathrm {[lm / m^{2}]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答：(2)
図7に示すように，完全拡散性直線光源なので，床面の水平面照度\( \ E_{h} \ \mathrm {[lx]} \ \)は光源から\( \ h=3 \ \mathrm {[m]} \ \)離れた円柱の照度と考えればよい。したがって，円柱の側面積\( \ S^{\prime } \ \mathrm {[m^{2}]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
S^{\prime }&=&2\pi h \times 1 \\[ 5pt ] &=&2\pi \times 3 \times 1 \\[ 5pt ] &≒&18.85 \ \mathrm {[m^{2}]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，水平面照度\( \ E_{h} \ \mathrm {[lx]} \ \)は，ワンポイント解説「4.照度\( \ E \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
E_{h}&=&\frac {F}{S^{\prime }} \\[ 5pt ] &=&\frac {3 \ 000}{18.85} \\[ 5pt ] &≒&159 \ \mathrm {[lx]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。