《機械》〈電熱〉[H28:問17]ヒートポンプに関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆(普通)

図はヒートポンプ式電気給湯器の概要図である。ヒートポンプユニットの消費電力は\( \ \mathrm {1.34 \ kW} \ \),\( \ \mathrm {COP} \ \)(成績係数)は\( \ 4.0 \ \)である。また,貯湯タンクには\( \ \mathrm {17 \ ℃} \ \)の水\( \ \mathrm {460 \ L} \ \)が入っている。この水全体を\( \ \mathrm {88 \ ℃} \ \)まで加熱したい。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) この加熱に必要な熱エネルギー\( \ W_{\mathrm {h}} \ \)の値\( \ \mathrm { [ MJ ] } \ \)として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。ただし,貯湯タンク,ヒートポンプユニット,配管などからの熱損失はないものとする。また,水の比熱容量は\( \ \mathrm {4.18 \ kJ/ ( kg \cdot K ) } \ \),水の密度は\( \ \mathrm {1.00\times 10^{3} \ kg / m^{3}} \ \)であり,いずれも水の温度に関係なく一定とする。

 (1) \( \ 37 \ \)  (2) \( \ 137 \ \)  (3) \( \ 169 \ \)  (4) \( \ 202 \ \)  (5) \( \ 297 \ \)

(b) この加熱に必要な時間\( \ t \ \)の値\( \ \mathrm { [ h ] } \ \)として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。ただし,ヒートポンプユニットの消費電力及び\( \ \mathrm {COP} \ \)はいずれも加熱の開始から終了まで一定とする。

 (1) \( \ 1.9 \ \)  (2) \( \ 7.1 \ \)  (3) \( \ 8.8 \ \)  (4) \( \ 10.5 \ \)  (5) \( \ 15.4 \ \)

【ワンポイント解説】

ヒートポンプの問題は数年に1回程度基本的な内容が出題されます。ヒートポンプは電気給湯器の場合,空気で冷媒を温めます。したがって,原理上必要な電力が圧縮機の電力のみとなり,通常の加熱方式に比べて圧倒的に少なくなります。よって,その能力の指標となる,熱交換器(水加熱)の放熱熱量に対する圧縮機に要した電力を成績係数(\( \ \mathrm {COP} \ \))と言います。

【解答】

(a)解答:(2)
加熱に必要なエネルギー\( \ Q \ \)は,質量\( \ m \ \),比熱容量\( \ c \ \),温度差\( \ \Delta T \ \)とすると
\[
\begin{eqnarray}
Q&=&mc\Delta T \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] である。題意より,\( \ m=460\times 1 =460 \ \mathrm { [ kg ] } \ \)であるから,
\[
\begin{eqnarray}
Q&=&mc\Delta T \\[ 5pt ] &=&460\times 4.18 \times \left( 88 -17 \right) \\[ 5pt ] &≒&136519 \ \mathrm {[ kJ ] } → 137 \ \mathrm { [ MJ ] } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。

(b)解答:(2)
ヒートポンプユニットの消費電力は\( \ \mathrm {1.34 \ kW} \ \),\( \ \mathrm {COP} \ \)(成績係数)は\( \ 4.0 \ \)であるから,熱交換器(水加熱)での時間\( \ t \ \mathrm { [ h ] } \ \)での熱供給量\( \ W \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
W&=&1.34 \times 4.0 \times 3600t \\[ 5pt ] &=&19296t \ \mathrm { [ kJ ] } \\[ 5pt ] 
\end{eqnarray}
\] となる。この\( \ W \ \)が(1)の\( \ Q \ \)と等しいので,
\[
\begin{eqnarray}
t&=&\frac {136519}{19296} \\[ 5pt ] &≒&7.1 \ \mathrm { [ h ] }  \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。