《機械》〈電熱〉[H28:問17]ヒートポンプに関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆(普通)

図はヒートポンプ式電気給湯器の概要図である。ヒートポンプユニットの消費電力は\(\mathrm {1.34kW}\),COP(成績係数)は\(4.0\)である。また,貯湯タンクには\(\mathrm {17℃}\)の水\(\mathrm {460L}\)が入っている。この水全体を\(\mathrm {88℃}\)まで加熱したい。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) この加熱に必要な熱エネルギー\(W_{h}\)の値\( \mathrm { [ MJ ] }\)として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。ただし,貯湯タンク,ヒートポンプユニット,配管などからの熱損失はないものとする。また,水の比熱容量は\(\mathrm {4.18kJ/ ( kg \cdot K ) }\),水の密度は\(\mathrm {1.00\times 10^{3} kg / m^{3}}\)であり,いずれも水の温度に関係なく一定とする。

 (1) 37  (2) 137  (3) 169  (4) 202  (5) 297

(b) この加熱に必要な時間\(t\)の値\( \mathrm { [ h ] } \)として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。ただし,ヒートポンプユニットの消費電力及びCOPはいずれも加熱の開始から終了まで一定とする。

 (1) 1.9  (2) 7.1  (3) 8.8  (4) 10.5  (5) 15.4

【ワンポイント解説】

ヒートポンプの問題は数年に1回程度基本的な内容が出題されます。ヒートポンプは電気給湯器の場合,空気で冷媒を温めます。したがって,原理上必要な電力が圧縮機の電力のみとなり,通常の加熱方式に比べて圧倒的に少なくなります。よって,その能力の指標となる,熱交換器(水加熱)の放熱熱量に対する圧縮機に要した電力を成績係数(COP)と言います。

【解答】

(a)解答:(2)
加熱に必要なエネルギー\(Q\)は,質量\(m\),比熱容量\(c\),温度差\(\Delta T\)とすると
\[
Q=mc\Delta T
\] である。題意より,\(m=460\times 1 =460\mathrm { [ kg ] } \)であるから,
\[
\begin{eqnarray}
Q&=&mc\Delta T \\[ 5pt ] &=&460\times 4.18 \times \left( 88 -17 \right) \\[ 5pt ] &≒&136519 \mathrm {[ kJ ] } → 137 \mathrm { [ MJ ] }
\end{eqnarray}
\] となる。

(b)解答:(2)
ヒートポンプユニットの消費電力は\(\mathrm {1.34kW}\),COP(成績係数)は\(4.0\)であるから,熱交換器(水加熱)での時間\(t \mathrm { [ h ] }\)での熱供給量\(W\)は,
\[
\begin{eqnarray}
W&=&1.34 \times 4.0 \times 3600t \\[ 5pt ] &=&19296t \mathrm { [ kJ ] } 
\end{eqnarray}
\] となる。この\(W\)が(1)の\(Q\)と等しいので,
\[
\begin{eqnarray}
t&=&\frac {136519}{19296} \\[ 5pt ] &≒&7.1 \mathrm { [ h ] } 
\end{eqnarray}
\] と求められる。