《機械》〈照明〉[H30:問17]水平面照度に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆(普通)

どの方向にも光度が等しい均等放射の点光源がある。この点光源の全光束は\( \ 15000 \ \mathrm {lm} \ \)である。この点光源二つ(\(\mathrm {A}\)及び\(\mathrm {B}\))を屋外で図のように配置した。地面から点光源までの高さはいずれも\( \ 4 \ \mathrm {m} \ \)であり,\(\mathrm {A}\)と\(\mathrm {B}\)との距離は\( \ 6 \ \mathrm {m} \ \)である。次の(a)及び(b)の問に答えよ。ただし,考える空間には,\(\mathrm {A}\)及び\(\mathrm {B}\)以外に光源はなく,地面や周囲などからの反射光の影響もないものとする。

(a) 図において,点光源\(\mathrm {A}\)のみを点灯した。\(\mathrm {A}\)の直下の地面\(\mathrm {A}^{\prime }\)点における水平面照度の値\(\mathrm {[lx]}\)として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

 (1) \(56\)  (2) \(75\)  (3) \(100\)  (4) \(149\)  (5) \(299\)

(b) 図において,点光源\(\mathrm {A}\)を点灯させたまま,点光源\(\mathrm {B}\)も点灯した。このとき,地面\(\mathrm {C}\)点における水平面照度の値\(\mathrm {[lx]}\)として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

 (1) \(46\)  (2) \(57\)  (3) \(76\)  (4) \(96\)  (5) \(153\)

【ワンポイント解説】

照明分野からの出題で,比較的基本的な公式を利用した問題と言えます。得意不得意があるかもしれませんが,一旦理解してしまえば比較的点数の取りやすい分野でもあるので,できればマスターするようにして下さい。

1.立体角の定義
図1のように球体があり,半径\(r \ \mathrm {[m]}\)の錐体が球面を切り取った時の面積を\(S \ \mathrm {[m^{2}]}\)とすると,立体角\(\omega \ \mathrm {[sr]}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
\omega &=&\frac {S}{r^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり,平面角\(\theta \ \mathrm {[rad]}\)で表すと,
\[
\begin{eqnarray}
\omega &=&2\pi \left( 1-\cos \theta \right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。球全体の立体角は\(\theta = \pi \)の時であり,\(\omega =4\pi \)となります。

2.光度\(I\)
ある方向に向かう光束\(F\)を立体角\(\omega \)で割ったものが光度\(I\)となります。
\[
\begin{eqnarray}
I &=&\frac {\Delta F}{\Delta \omega } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

3.水平面照度\(E_{\mathrm {h}}\)
図2のように,点光源から光度\(I\)で\(\mathrm {C}\)点に向かって光が照射されているとき,法線照度\(E_{\mathrm {n}}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
E_{\mathrm {n}} &=&\frac {I}{r^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で表され,水平面照度\(E_{\mathrm {h}}\)は,\(E_{\mathrm {n}}\)の余弦であるから,
\[
\begin{eqnarray}
E_{\mathrm {h}} &=&E_{\mathrm {n}}\cos \theta \\[ 5pt ] &=&\frac {I}{r^{2}}\cdot \frac {h}{r} \\[ 5pt ] &=&\frac {hI}{r^{3}}
\end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

(a)解答:(2)
ワンポイント解説「1.立体角の定義」及び「2.光度\(I\)」より,点光源\(\mathrm {A}\)の光度\(I\)は,
\[
\begin{eqnarray}
I &=&\frac {\Delta F}{\Delta \omega } \\[ 5pt ] &=&\frac {15000}{4\pi } \\[ 5pt ] &≒&1193.7 \ \mathrm {[cd]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから,ワンポイント解説「3.水平面照度\(E_{\mathrm {h}}\)」より,\(\mathrm {A}^{\prime }\)点における水平面照度\(E_{\mathrm {h1}}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
E_{\mathrm {h1}} &=&\frac {I}{h^{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {1193.7}{4^{2}} \\[ 5pt ] &≒&74.6 → 75 \ \mathrm {[lx]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答:(3)
\(\mathrm {A}\)と\(\mathrm {C}\)との距離\(r\)は,三平方の定理より,
\[
\begin{eqnarray}
r &=&\sqrt {3^{2}+4^{2}} \\[ 5pt ] &=&5 \ \mathrm {[m]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。ワンポイント解説「3.水平面照度\(E_{\mathrm {h}}\)」より,点光源\(\mathrm {A}\)による\(\mathrm {C}\)点における水平面照度\(E_{\mathrm {h2}}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
E_{\mathrm {h2}} &=&\frac {4\times 1193.7}{5^{3}} \\[ 5pt ] &≒&38.198 \ \mathrm {[lx]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。点光源\(\mathrm {B}\)からも同照度が求められるので,合わせると,
\[
\begin{eqnarray}
E_{\mathrm {h}} &=&2\times 38.198 \\[ 5pt ] &≒&76.4 → 76 \ \mathrm {[lx]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。