《機械》〈情報伝送及び処理〉[R2:問14]真理値表からのブール代数の論理式の導出に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆(普通)

入力信号 A  B 及び C ,出力信号 X の論理回路の真理値表が次のように示されたとき, X の論理式として,正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

  A    B    C    X  00000011010001111000101111011111

(1) AB+A¯C+BC
(2) A¯B+A¯C+¯B¯C
(3) A¯B+C+¯AB
(4) B¯C+¯AB+¯BC
(5) AB+C

【ワンポイント解説】

ブール代数を利用した式の導出です。カルノー図等を利用しても解けるので,好きな方で解けば良いと思います。
慣れると点取り問題になる問題です。

1.カルノー図
図1のように,真理値表を整理して,ブール代数を簡略化して解く方法です。カルノー図を使用する際,以下のルールがあります。
 00  01  11  10 の順に描く。
 0 を書かず, 1 のみを記載する。
・なるべく大きな長方形で囲い,式を整理する。
・一番上と一番下及び一番左と一番右は繋がっていると考える。

2.ブール代数の法則
以下の法則は覚えるのではなく,高校生の数学で習った集合の内容を思い出し,頭でイメージするようにして下さい。
私も公式として覚えているのはド・モルガンの定理ぐらいかと思います。
①恒等則
 1+A=10A=00+A=A1A=A

②べき等則
 A+A=AAA=A

③補元則
 A¯A=0A+¯A=1

④二重否定
 ¯¯A=A

⑤交換則
 A+B=B+AAB=BA

⑥結合則
 A+(B+C)=(A+B)+CA(BC)=(AB)C

⑦分配則
 A(B+C)=AB+ACA+(BC)=(A+B)(A+C)

⑧吸収則
 A(A+B)=AA+AB=A

⑨ド・モルガンの定理
 ¯A+B=¯A¯B¯AB=¯A+¯B

【解答】

解答:(5)
真理値表に沿ってカルノー図を描くとワンポイント解説「1.カルノー図」の図1のようになるから,カルノー図のルールに沿って長方形で囲うと図2のようになる。

図2より, X の論理式は,
X=AB+C

と求められる。

【別解】
真理値表より, X の論理式は,
X=¯A¯BC+¯ABC+A¯BC+AB¯C+ABC

となるので,これをワンポイント解説「2.ブール代数の法則」に沿って整理すると,
X=¯A¯BC+¯ABC+A¯BC+AB¯C+ABC=¯A¯BC+¯ABC+A¯BC+ABC+AB¯C ()=¯A¯BC+¯ABC+A¯BC+ABC+ABC+AB¯C ()=(¯A¯B+¯AB+A¯B+AB)C+AB(C+¯C) ()={¯A(¯B+B)+A(¯B+B)}C+AB(C+¯C) ()=(¯A1+A1)C+AB1 ()=(¯A+A)C+AB ()=1C+AB ()=C+AB ()=AB+C ()
と求められる。