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【問題】
【難易度】★★★☆☆(普通)
入力信号 A , B 及び C ,出力信号 X の論理回路の真理値表が次のように示されたとき, X の論理式として,正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
A B C X 00000011010001111000101111011111
(1) A⋅B+A⋅¯C+B⋅C
(2) A⋅¯B+A⋅¯C+¯B⋅¯C
(3) A⋅¯B+C+¯A⋅B
(4) B⋅¯C+¯A⋅B+¯B⋅C
(5) A⋅B+C
【ワンポイント解説】
ブール代数を利用した式の導出です。カルノー図等を利用しても解けるので,好きな方で解けば良いと思います。
慣れると点取り問題になる問題です。
1.カルノー図
図1のように,真理値表を整理して,ブール代数を簡略化して解く方法です。カルノー図を使用する際,以下のルールがあります。
・ 00 , 01 , 11 , 10 の順に描く。
・ 0 を書かず, 1 のみを記載する。
・なるべく大きな長方形で囲い,式を整理する。
・一番上と一番下及び一番左と一番右は繋がっていると考える。

2.ブール代数の法則
以下の法則は覚えるのではなく,高校生の数学で習った集合の内容を思い出し,頭でイメージするようにして下さい。
私も公式として覚えているのはド・モルガンの定理ぐらいかと思います。
①恒等則
1+A=1,0⋅A=0,0+A=A,1⋅A=A
②べき等則
A+A=A,A⋅A=A
③補元則
A⋅¯A=0,A+¯A=1
④二重否定
¯¯A=A
⑤交換則
A+B=B+A,A⋅B=B⋅A
⑥結合則
A+(B+C)=(A+B)+C,A⋅(B⋅C)=(A⋅B)⋅C
⑦分配則
A⋅(B+C)=A⋅B+A⋅C,A+(B⋅C)=(A+B)⋅(A+C)
⑧吸収則
A⋅(A+B)=A,A+A⋅B=A
⑨ド・モルガンの定理
¯A+B=¯A⋅¯B,¯A⋅B=¯A+¯B
【解答】
解答:(5)
真理値表に沿ってカルノー図を描くとワンポイント解説「1.カルノー図」の図1のようになるから,カルノー図のルールに沿って長方形で囲うと図2のようになる。

図2より, X の論理式は,
X=A⋅B+C
【別解】
真理値表より, X の論理式は,
X=¯A⋅¯B⋅C+¯A⋅B⋅C+A⋅¯B⋅C+A⋅B⋅¯C+A⋅B⋅C
X=¯A⋅¯B⋅C+¯A⋅B⋅C+A⋅¯B⋅C+A⋅B⋅¯C+A⋅B⋅C=¯A⋅¯B⋅C+¯A⋅B⋅C+A⋅¯B⋅C+A⋅B⋅C+A⋅B⋅¯C (交換則)=¯A⋅¯B⋅C+¯A⋅B⋅C+A⋅¯B⋅C+A⋅B⋅C+A⋅B⋅C+A⋅B⋅¯C (べき等則)=(¯A⋅¯B+¯A⋅B+A⋅¯B+A⋅B)⋅C+A⋅B⋅(C+¯C) (分配則)={¯A⋅(¯B+B)+A(¯B+B)}⋅C+A⋅B⋅(C+¯C) (分配則)=(¯A⋅1+A⋅1)⋅C+A⋅B⋅1 (補元則)=(¯A+A)⋅C+A⋅B (恒等則)=1⋅C+A⋅B (補元則)=C+A⋅B (恒等則)=A⋅B+C (交換則)