《機械》〈情報伝送及び処理〉[R2:問14]真理値表からのブール代数の論理式の導出に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

入力信号\( \ A \ \)，\( \ B \ \)及び\( \ C \ \)，出力信号\( \ X \ \)の論理回路の真理値表が次のように示されたとき，\( \ X \ \)の論理式として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
　　A　　 & 　　B　　 & 　　C　　 & 　　X　　 \\
\hline
0 & 0 & 0 & 0 \\
\hdashline
0 & 0 & 1 & 1 \\
\hdashline
0 & 1 & 0 & 0 \\
\hdashline
0 & 1 & 1 & 1 \\
\hdashline
1 & 0 & 0 & 0 \\
\hdashline
1 & 0 & 1 & 1 \\
\hdashline
1 & 1 & 0 & 1 \\
\hdashline
1 & 1 & 1 & 1 \\
\hline
\end{array}
\]

(1)　\(A\cdot B+A\cdot \overline C +B\cdot C\)
(2)　\(A\cdot \overline B+A\cdot \overline C +\overline B\cdot \overline C\)
(3)　\(A\cdot \overline B+C +\overline A\cdot B\)
(4)　\(B\cdot \overline C+\overline A\cdot B +\overline B\cdot C\)
(5)　\(A\cdot B+C \)

【ワンポイント解説】

ブール代数を利用した式の導出です。カルノー図等を利用しても解けるので，好きな方で解けば良いと思います。
慣れると点取り問題になる問題です。

1.カルノー図
図1のように，真理値表を整理して，ブール代数を簡略化して解く方法です。カルノー図を使用する際，以下のルールがあります。
・\( \ 00 \ \)，\( \ 01 \ \)，\( \ 11 \ \)，\( \ 10 \ \)の順に描く。
・\( \ 0 \ \)を書かず，\( \ 1 \ \)のみを記載する。
・なるべく大きな長方形で囲い，式を整理する。
・一番上と一番下及び一番左と一番右は繋がっていると考える。

2.ブール代数の法則
以下の法則は覚えるのではなく，高校生の数学で習った集合の内容を思い出し，頭でイメージするようにして下さい。
私も公式として覚えているのはド・モルガンの定理ぐらいかと思います。
①恒等則
　\(1+A=1\)，\(0\cdot A=0\)，\(0+A=A\)，\(1\cdot A =A\)

②べき等則
　\(A+A=A\)，\(A\cdot A=A\)

③補元則
　\(A\cdot \overline A=0\)，\(A +\overline A=1\)

④二重否定
　\(\overline {\overline A}=A\)

⑤交換則
　\(A+B=B+A\)，\(A\cdot B =B\cdot A\)

⑥結合則
　\(A+(B+C)=(A+B)+C\)，\(A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C\)

⑦分配則
　\(A\cdot (B+C)=A\cdot B +A\cdot C\)，\(A+(B\cdot C)=(A+B)\cdot (A+C)\)

⑧吸収則
　\(A\cdot (A+B)=A\)，\(A+A\cdot B=A\)

⑨ド・モルガンの定理
　\(\overline {A+B}=\overline A \cdot \overline B\)，\(\overline {A\cdot B}=\overline A +\overline B\)

【解答】

解答：(5)
真理値表に沿ってカルノー図を描くとワンポイント解説「1.カルノー図」の図1のようになるから，カルノー図のルールに沿って長方形で囲うと図2のようになる。

図2より，\( \ X \ \)の論理式は，
\[
\begin{eqnarray}
X&=& A \cdot B +C \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

【別解】
真理値表より，\( \ X \ \)の論理式は，
\[
\begin{eqnarray}
X&=& \overline A \cdot \overline B \cdot C+\overline A \cdot B \cdot C+A \cdot \overline B \cdot C+A \cdot B \cdot \overline C+A \cdot B \cdot C \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，これをワンポイント解説「2.ブール代数の法則」に沿って整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
X&=& \overline A \cdot \overline B \cdot C+\overline A \cdot B \cdot C+A \cdot \overline B \cdot C+A \cdot B \cdot \overline C+A \cdot B \cdot C \\[ 5pt ] &=& \overline A \cdot \overline B \cdot C+\overline A \cdot B \cdot C+A \cdot \overline B \cdot C+A \cdot B \cdot C+A \cdot B \cdot \overline C　\left( 交換則\right) \\[ 5pt ] &=& \overline A \cdot \overline B \cdot C+\overline A \cdot B \cdot C+A \cdot \overline B \cdot C+A \cdot B \cdot C+A \cdot B \cdot C+A \cdot B \cdot \overline C　\left( べき等則\right) \\[ 5pt ] &=& \left( \overline A \cdot \overline B +\overline A \cdot B +A \cdot \overline B+A \cdot B \right) \cdot C+A \cdot B \cdot \left( C+ \overline C\right)　\left( 分配則\right) \\[ 5pt ] &=& \left\{ \overline A \cdot \left( \overline B + B\right) +A \left( \overline B + B\right) \right\} \cdot C+A \cdot B \cdot \left( C+ \overline C\right)　\left( 分配則\right) \\[ 5pt ] &=& \left( \overline A \cdot 1 +A \cdot 1 \right) \cdot C+A \cdot B \cdot 1　\left( 補元則\right) \\[ 5pt ] &=& \left( \overline A +A \right) \cdot C+A \cdot B 　\left( 恒等則\right) \\[ 5pt ] &=& 1 \cdot C+A \cdot B 　\left( 補元則\right) \\[ 5pt ] &=&C+A \cdot B 　\left( 恒等則\right) \\[ 5pt ] &=&A \cdot B+C 　\left( 交換則\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。