《機械》〈同期機〉[R05上:問6]三相同期発電機の無負荷誘導起電力の導出に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆（やや難しい）

次のような三相同期発電機がある。

\( \ 1 \ \)極当たりの磁束　\( \ 0.10 \ \mathrm {Wb} \ \)
極数　　　　　　　 \( \ 12 \ \)
\( \ 1 \ \)分間の回転速度　\( \ 600 \ \mathrm {{min}^{-1}} \ \)
\( \ 1 \ \)相の直列巻数　　\( \ 250 \ \)
巻線係数　　　　　 \( \ 0.95 \ \)
結線　　　　　　　 \( \ \mathrm {Y} \ \)（\( \ 1 \ \)相のコイルは全部直列）

この発電機の無負荷誘導起電力（線間値）の値\( \ \mathrm {[kV]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし，エアギャップにおける磁束分布は正弦波であるものとする。

　(1)　\( \ 2.09 \ \)　　(2)　\( \ 3.65 \ \)　　(3)　\( \ 6.33 \ \)　　(4)　\( \ 11.0 \ \)　　(5)　\( \ 19.0 \ \)

【ワンポイント解説】

三相同期発電機の無負荷誘導起電力を求める問題です。
誘導起電力の公式は覚えておく必要があり，本問はさらに周波数を同期速度の式から求める必要があります。
計算量自体はそれほど多くありませんが，最後線間電圧に直さなければいけない等気を付けなければならない点も多く，正答率は低かったと予想されます。

1.三相誘導電動機の同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \)
三相同期発電機の極数が\( \ p \ \)，電源の周波数が\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)の時，同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
N_{\mathrm {s}} &=&\frac {120f}{p} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。同期機は同期速度で回転します。

2.同期機の誘導起電力
同期機の\( \ 1 \ \)相分の誘導起電力（相電圧）\( \ E \ \mathrm {[V]} \ \)は，巻線係数を\( \ K \ \)，周波数を\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)，\( \ 1 \ \)相あたりの電機子巻き数（直列巻数）を\( \ N \ \)，\( \ 1 \ \)極あたりの磁束数を\( \ \phi \ \mathrm {[Wb]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
E&=&\frac {2\pi }{\sqrt {2}}KfN\phi \\[ 5pt ] &≒&4.44KfN\phi \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。これより，電圧\( \ E \ \)と周波数\( \ f \ \)の比を一定とすれば，磁束\( \ \phi \ \)をほぼ一定に保つことができることがわかるかと思います。

【解答】

解答：(4)
同期速度\( \ N_{\mathrm {s}}=600 \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)及び極数\( \ p=12 \ \)より電源の周波数\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)は，ワンポイント解説「1.三相誘導電動機の同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
N_{\mathrm {s}} &=&\frac {120f}{p} \\[ 5pt ] f &=&\frac {N_{\mathrm {s}}p}{120} \\[ 5pt ] &=&\frac {600\times 12}{120} \\[ 5pt ] &=&60 \ \mathrm {[Hz]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって，巻線係数\( \ K=0.95 \ \)，\( \ 1 \ \)相の直列巻数\( \ N=250 \ \)，\( \ 1 \ \)極あたりの磁束数\( \ \phi =0.10 \ \mathrm {[Wb]} \ \)より，同期機の無負荷誘導起電力（相電圧）\( \ E \ \mathrm {[kV]} \ \)は，ワンポイント解説「2.同期機の誘導起電力」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
E &=&4.44KfN\phi \\[ 5pt ] &≒&4.44\times 0.95\times 60\times 250\times 0.10 \\[ 5pt ] &=&6 \ 327 \ \mathrm {[V]}　→　6.327 \ \mathrm {[kV]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。したがって，無負荷誘導起電力（線間値）\( \ V \ \mathrm {[kV]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
V &=&\sqrt {3}E \\[ 5pt ] &=&\sqrt {3}\times 6.327 \\[ 5pt ] &≒&11.0 \ \mathrm {[kV]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。