《機械》〈電動機応用〉[R06上:問11]巻上機によって巻き上げるのに必要な動力に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

巻上機によって質量\( \ 1 \ 200 \ \mathrm {kg} \ \)の物体を\( \ 0.3 \ \mathrm {m / s} \ \)の一定速度で巻き上げているときの電動機出力\( \ \mathrm {[kW]} \ \)の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし，機械効率は\( \ 98 \ \mathrm {％} \ \)，重力加速度は\( \ 9.8 \ \mathrm {m / s^{2}} \ \)，ロープの質量及び加速に要する動力については考慮しないものとする。

　(1)　\( \ 3.4 \ \)　　(2)　\( \ 3.5 \ \)　　(3)　\( \ 3.6 \ \)　　(4)　\( \ 3.7 \ \)　　(5)　\( \ 3.8 \ \)

【ワンポイント解説】

巻上機の必要動力に関する問題です。
巻上機による物体の上昇は力学の内容で，機械屋の内容ですが，機械を動かすためには電気が必要なので，ある程度機械についても把握している必要があります。
本問は平成8年問6からの再出題ですが，令和3年問10に類題が出題されています。

1.物体を持ち上げるのに必要な動力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)
\( \ m \ \mathrm {[kg]} \ \)の物体を持ち上げるのに必要な力\( \ F \ \mathrm {[N]} \ \)は，重力加速度を\( \ g \ \mathrm {[m / s^{2}]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
F &=&mg \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，距離\( \ x \ \mathrm {[m]} \ \)持ち上げるのに必要な仕事\( \ W \ \mathrm {[J]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
W &=&Fx \\[ 5pt ] &=&mgx \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。距離\( \ x \ \mathrm {[m]} \ \)持ち上げるのに要した時間を\( \ t \ \mathrm {[s]} \ \)とすると，速度\( \ \displaystyle v=\frac {x}{t} \ \mathrm {[m／s]} \ \)より，必要な動力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P &=&\frac {W}{t} \\[ 5pt ] &=&\frac {mgx}{t} \\[ 5pt ] &=&mgv \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。この最後の式は覚えておくようにしましょう。

【解答】

解答：(3)
質量\( \ m=1 \ 200 \ \mathrm {[kg]} \ \)の物体を\( \ v=0.3 \ \mathrm {[m / s]} \ \)で引き上げるために必要な動力\( \ P \ \mathrm {[kW]} \ \)は，重力加速度\( \ g=9.8 \ \mathrm {[m / s^{2}]} \ \)であるから，ワンポイント解説「1.物体を持ち上げるのに必要な動力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
P &=&mgv \\[ 5pt ] &=&1 \ 200\times 9.8 \times 0.3 \\[ 5pt ] &=&3 \ 528 \ \mathrm {[W]}　→　3.528 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。機械効率\( \ \eta =0.98 \ \)であるから，電動機出力を\( \ P_{\mathrm {m}} \ \mathrm {[kW]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
P &=&P_{\mathrm {m}}\eta \\[ 5pt ] P_{\mathrm {m}}&=&\frac {P}{\eta } \\[ 5pt ] &=&\frac {3.528}{0.98} \\[ 5pt ] &=&3.6 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。