《機械》〈電熱〉[R07上:問17]電熱装置による水の融解と温度上昇に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

熱効率が\( \ 70 \ \mathrm {％} \ \)で一定の電熱装置について，次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a)　\( \ 0 \ \mathrm {{}^{\circ}C} \ \)の氷\( \ 5 \ \mathrm {kg} \ \)を加熱したところ\( \ 30 \ \mathrm {min} \ \)ですべて\( \ 0 \ \mathrm {{}^{\circ}C} \ \)の水になった。融解熱が\( \ 334 \ \mathrm {kJ / kg} \ \)のとき電熱装置の消費電力の値\( \ \mathrm {[kW]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ 0.9 \ \)　　(2)　\( \ 1.4 \ \)　　(3)　\( \ 1.9 \ \)　　(4)　\( \ 2.4 \ \)　　(5)　\( \ 2.9 \ \)

(b)　電熱装置の消費電力が\( \ 1.7 \ \mathrm {kW} \ \)のとき，\( \ 0 \ \mathrm {{}^{\circ}C} \ \)の水\( \ 5 \ \mathrm {kg} \ \)が\( \ 50 \ \mathrm {{}^{\circ}C} \ \)になるのに要する時間\( \ \mathrm {[min]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし，水の比熱は\( \ 4.2 \ \mathrm {kJ / (kg\cdot K)} \ \)とする。

　(1)　\( \ 11 \ \)　　(2)　\( \ 15 \ \)　　(3)　\( \ 19 \ \)　　(4)　\( \ 25 \ \)　　(5)　\( \ 30 \ \)

【ワンポイント解説】

電熱装置による水の溶解と加温に関する問題です。
熱力学の問題としては基本的な内容となりますが，電験受験生が手薄となりやすい分野なので，迷う受験生も多かったかと思います。
電力科目の火力発電等にも関連する内容なので，ぜひ理解しておくようにしましょう。

1.\( \ \mathrm {[kJ]} \ \)と\( \ \mathrm {[kW\cdot h]} \ \)の変換
単位の定義より，
\[
\begin{eqnarray}
1 \ \mathrm {[kJ／s]} &=&1 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，両辺の単位に\( \ \mathrm {[s]} \ \)をかけると，
\[
\begin{eqnarray}
1 \ \mathrm {[kJ]} &=&1 \ \mathrm {[kW\cdot s]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，両辺に\( \ 1 \ \mathrm {[h]}=3 \ 600 \ \mathrm {[s]} \ \)を考慮して，\( \ 3 \ 600 \ \)をかけると，
\[
\begin{eqnarray}
3 \ 600 \ \mathrm {[kJ]} &=&1 \ \mathrm {[kW\cdot h]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.水の温度上昇と必要なエネルギーの関係
水にエネルギー\( \ Q \ \mathrm {[J]} \ \)を加えたときの温度上昇値\( \ \Delta T \ \mathrm {[K]} \ \)には，質量\( \ m \ \mathrm {[kg]} \ \)，比熱容量\( \ c \ \mathrm {[J / \left( kg\cdot K\right) ]} \ \)とすると
\[
\begin{eqnarray}
Q &=&mc \Delta T \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があります。

【解答】

(a)解答：(2)
質量\( \ m=5 \ \mathrm {[kg]} \ \)で\( \ 0 \ \mathrm {{}^{\circ}C} \ \)の氷をすべて水にするために必要な熱量\( \ Q_{\mathrm {m}} \ \mathrm {[kJ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Q_{\mathrm {m}} &=&334m \\[ 5pt ] &=&334\times 5 \\[ 5pt ] &=&1 \ 670 \ \mathrm {[kJ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，\( \ t=30 \ \mathrm {[min]} \ \)で融解するための電熱装置の消費電力\( \ P \ \mathrm {[kW]} \ \)は，熱効率\( \ \eta =0.70 \ \)であることに注意すると，
\[
\begin{eqnarray}
P\eta &=&\frac {Q_{\mathrm {m}}}{t} \\[ 5pt ] P&=&\frac {Q_{\mathrm {m}}}{t\eta } \\[ 5pt ] &=&\frac {1 \ 670}{30\times 60\times 0.70 } \\[ 5pt ] &≒&1.33 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答：(2)
質量\( \ m=5 \ \mathrm {[kg]} \ \)で比熱が\( \ c=4.2 \ \mathrm {[kJ / (kg\cdot K)]} \ \)の\( \ 0 \ \mathrm {{}^{\circ}C} \ \)の水を\( \ 50 \ \mathrm {{}^{\circ}C} \ \)にするために必要な熱量\( \ Q_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[kJ]} \ \)は，ワンポイント解説「2.水の温度上昇と必要なエネルギーの関係」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
Q_{\mathrm {s}} &=&mc \Delta T \\[ 5pt ] &=&5\times 4.2\times 50 \\[ 5pt ] &=&1 \ 050 \ \mathrm {[kJ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるため，消費電力\( \ P^{\prime }=1.7 \ \mathrm {[kW]} \ \)の電熱装置が温めるのに要する時間\( \ t^{\prime } \ \mathrm {[min]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P^{\prime }\eta t^{\prime }&=&Q_{\mathrm {s}} \\[ 5pt ] t^{\prime }&=&\frac {Q_{\mathrm {s}}}{P^{\prime }\eta } \\[ 5pt ] &=&\frac {1 \ 050}{1.7\times 0.7 } \\[ 5pt ] &≒&882.4 \ \mathrm {[s]}　→　14.7 \ \mathrm {[min]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。