【問題】
【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）
定格周波数\( \ \mathrm {50 \ Hz } \ \)，\( \ \mathrm {6} \ \)極のかご形三相誘導電動機があり，トルク\( \ \mathrm {200 \ N\cdot m } \ \)，機械出力\( \ \mathrm {20 \ kW } \ \)で定格運転している。このときの二次入力（同期ワット）の値\( \ \mathrm {[ kW ] } \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし，機械損は無視するものとする。
(1) \( \ 19 \ \) (2) \( \ 20 \ \) (3) \( \ 21 \ \) (4) \( \ 25 \ \) (5) \( \ 27 \ \)
【ワンポイント解説】
かご形三相誘導電動機の同期ワットの導出に関する問題です。
近年の電験の中でも数少ないストレートな問題です。ぜひ各公式を理解して正答できるようになって下さい。
本問は平成28年問4からの再出題となります。
1.三相誘導電動機の同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \)及び同期角速度\( \ \omega _{\mathrm {s}} \ \)
三相誘導電動機の極数が\( \ p \ \)，電源の周波数が\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)の時，同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
N_{\mathrm {s}} &=&\frac {120f}{p} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。また，同期角速度\( \ \omega _{\mathrm {s}} \ \mathrm {[rad / s]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\omega _{\mathrm {s}} &=&\frac {2\pi N_{\mathrm {s}}}{60} \\[ 5pt ]
&=&\frac {2\pi }{60}\cdot \frac {120f}{p} \\[ 5pt ]
&=&\frac {4\pi f}{p} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で求められます。
2.誘導機の滑り\( \ s \ \)
誘導機の同期速度が\( \ N_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)，回転速度が\( \ N \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)である時，誘導機の滑り\( \ s \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
s &=&\frac {N_{\mathrm {s}}-N}{N_{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，これを変形すると，
\[
\begin{eqnarray}
sN_{\mathrm {s}}&=&N_{\mathrm {s}}-N \\[ 5pt ]
N&=&N_{\mathrm {s}}-sN_{\mathrm {s}} \\[ 5pt ]
&=& N_{\mathrm {s}}\left( 1-s\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
3.二次入力\( \ P_{2} \ \)と出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \)と二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \)の関係
誘導電動機の\( \ \mathrm {L} \ \)形等価回路は図1のようになります。図1において，\( \ {\dot V}_{1} \ \mathrm {[V]} \ \)は一次側端子電圧，\( \ {\dot I}_{1} \ \mathrm {[A]} \ \)は一次電流，\( \ {\dot I}_{2}^{\prime } \ \mathrm {[A]} \ \)は二次電流の一次換算，\( \ {\dot I}_{0} \ \mathrm {[A]} \ \)は励磁電流，\( \ r_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は一次巻線抵抗，\( \ r_{2}^{\prime } \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は二次巻線抵抗の一次換算，\( \ x_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は一次漏れリアクタンス，\( \ x_{2}^{\prime } \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は二次漏れリアクタンスの一次換算，\( \ s \ \)は滑りとなります。
図1より，出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \mathrm {[W]} \ \)，二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \mathrm {[W]} \ \)，二次入力\( \ P_{2} \ \mathrm {[W]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {o}} &=& 3\frac {1-s}{s}r_{2}^{\prime }{I_{2}^{\prime }}^{2} \\[ 5pt ]
P_{\mathrm {c2}} &=& 3r_{2}^{\prime }{I_{2}^{\prime }}^{2} \\[ 5pt ]
P_{2} &=& P_{\mathrm {o}}+P_{\mathrm {c2}} =3\frac {r_{2}^{\prime }}{s}{I_{2}^{\prime }}^{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，誘導電動機の二次入力\( \ P_{2} \ \mathrm {[W]} \ \)，出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \mathrm {[W]} \ \)，二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \mathrm {[W]} \ \)には，
\[
\begin{eqnarray}
P_{2}：P_{\mathrm {o}}：P_{\mathrm {c2}} &=& 1：(1-s)：s \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係があることが分かります。
4.誘導電動機のトルク\( \ T \ \)
図1より，
\[
\begin{eqnarray}
I_{2}^{\prime } &=& \frac {V_{1}}{\displaystyle \sqrt{\left( r_{1}+\frac {r_{2}^{\prime}}{s}\right) ^{2} +(x_{1}+x_{2}^{\prime}) ^{2}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるから，二次入力\( \ P_{2} \ \mathrm {[W]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{2}&=&3\frac {r_{2}^{\prime}}{s}{I^{\prime}_{2}}^{2} \\[ 5pt ]
&=&3\frac {r_{2}^{\prime}}{s}\cdot \left( {\frac {V_{1}}{\displaystyle \sqrt{\left( r_{1}+\frac {r_{2}^{\prime}}{s}\right) ^{2} +(x_{1}+x_{2}^{\prime}) ^{2}}}}\right) ^{2} \\[ 5pt ]
&=&\frac {3r_{2}^{\prime}}{s}\cdot \frac {V_{1}^{2}}{\displaystyle \left( r_{1}+\frac {r_{2}^{\prime}}{s}\right) ^{2} +(x_{1}+x_{2}^{\prime}) ^{2}}
\end{eqnarray}
\]
となり，発生するトルク\( \ T \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
T&=&\frac {P_{\mathrm {o}}}{\omega } \\[ 5pt ]
&=&\frac {(1-s)P_{2}}{(1-s)\omega _{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {P_{2}}{\omega _{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {3r_{2}^{\prime}}{\omega _{\mathrm {s}}s}\cdot \frac {V_{1}^{2}}{\displaystyle \left( r_{1}+\frac {r_{2}^{\prime}}{s}\right) ^{2} +(x_{1}+x_{2}^{\prime}) ^{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
【解答】
解答：(3)
定格周波数\( \ f=\mathrm {50 \ [Hz] } \ \)，極数\( \ p=6 \ \)であるから，同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)は，ワンポイント解説「1.三相誘導電動機の同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \)及び同期角速度\( \ \omega _{\mathrm {s}} \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
N_{\mathrm {s}}&=&\frac {120f}{p} \\[ 5pt ]
&=&\frac {120\times 50}{6} \\[ 5pt ]
&=&1 \ 000 \ \mathrm {[ min^{-1} ] } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，同期角速度\( \ \omega _{\mathrm {s}} \ \mathrm {[rad / s]} \ \)は，ワンポイント解説「1.三相誘導電動機の同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \)及び同期角速度\( \ \omega _{\mathrm {s}} \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
\omega _{\mathrm {s}}&=&\frac {2\pi N_{\mathrm {s}}}{60} \\[ 5pt ]
&=&\frac {2\pi \times 1 \ 000}{60} \\[ 5pt ]
&≒& 104.72 \ \mathrm {[ rad / s ] } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。よって，二次入力（同期ワット）\( \ P_{2} \ \mathrm {[ kW ] } \ \)は，ワンポイント解説「4.誘導電動機のトルク\( \ T \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
P_{2}&=&\omega _{\mathrm {s}}T \\[ 5pt ]
&=&104.72\times 200 \\[ 5pt ]
&=& 20 \ 944 \ \mathrm {[ W ] } \\[ 5pt ]
&≒& 21 \ \mathrm {[ kW ] } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
