《理論》〈電気及び電子計測〉[H18:問17]多数の金属板を並べたコンデンサに関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

互いに\( \ 5 \ \mathrm {[mm]} \ \)の空げき間隔をおいて，平行平板状に並べられた\( \ 11 \ \)枚の同一形状の金属板がある。\( \ 1 \ \)枚の金属板の面積は\( \ 0.5 \ \mathrm {[m^{2}]} \ \)とする。いま，図のようにこの金属板をそれぞれ\( \ 1 \ \)枚おきに接続して空気コンデンサをつくる。次の(a)及び(b)に答えよ。

ただし，真空の誘電率を\( \ \varepsilon _{0}=8.85\times 10^{-12} \ \mathrm {[F / m]} \ \)とし，空気の比誘電率は\( \ 1.0 \ \)とする。また，コンデンサの端効果は無視できるものとする。

(a)　コンデンサの静電容量\( \ C \ \mathrm {[pF ]} \ \)の値として，正しいのは次のうちどれか。

　(1)　\( \ 88.5 \ \)　　(2)　\( \ 4 \ 430 \ \)　　(3)　\( \ 8 \ 850 \ \)　
　(4)　\( \ 17.7\times 10^{3} \ \)　　(5)　\( \ 177\times 10^{4} \ \)

(b)　コンデンサ極板間の電界強度を\( \ 1 \ 000 \ \mathrm {[kV / m]} \ \)とするとき，コンデンサに蓄えられるエネルギー\( \ W \ \mathrm {[J]} \ \)の値として，最も近いのは次のうちどれか。

　(1)　\( \ 1.11\times 10^{-3} \ \)　　(2)　\( \ 5.54\times 10^{-2} \ \)　　(3)　\( \ 1.11\times 10^{-1} \ \)　
　(4)　\( \ 2.21\times 10^{-1} \ \)　　(5)　\( \ 2.21\times 10 \ \)

【ワンポイント解説】

多数の金属板を使用したコンデンサの静電容量と静電エネルギーを求める問題です。
問題の図からコンデンサが並列に接続されたものであると理解できればそれほど難解な問題ではないかと思います。
なぜ並列と考えらえるかは，電極\( \ \mathrm {A} \ \)と\( \ \mathrm {B} \ \)に電源を繋いだときの電荷の蓄えられ方をイメージすると理解できるかと思います。

1.電荷\( \ Q \ \)と静電容量\( \ C \ \)及び電圧\( \ V \ \)の関係
平行平板コンデンサにおいて，蓄えられる電荷\( \ Q \ \mathrm {[C]} \ \)と静電容量\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)及び電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)には，
\[
\begin{eqnarray}
Q &=&CV \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があります。

2.平行平板コンデンサの静電容量\( \ C \ \)
平行平板コンデンサの静電容量\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)は，真空の誘電率を\( \ \varepsilon _{0} \ \mathrm {[F / m]} \ \)，極板の面積を\( \ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ \)，極板間の距離を\( \ d \ \mathrm {[m]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
C &=&\frac {\varepsilon _{0}S}{d} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。平行平板コンデンサの間に比誘電率\( \ \varepsilon _{\mathrm {r}} \ \)の誘電体を挿入すると，
\[
\begin{eqnarray}
C &=&\frac {\varepsilon _{\mathrm {r}} \varepsilon _{0}S}{d} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

3.コンデンサの合成静電容量
コンデンサ容量が\( \ C_{1} \ \mathrm {[F]} \ \)と\( \ C_{2} \ \mathrm {[F]} \ \)のコンデンサがある場合，直並列の合成静電容量\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)は下記の通りとなります。抵抗の場合と直並列が逆になることを知っておきましょう。
①並列回路の合成静電容量
\[
\begin{eqnarray}
C&=&C_{1}+C_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] ②直列回路の合成静電容量
\[
\begin{eqnarray}
\frac {1}{C}&=&\frac {1}{C_{1}}+\frac {1}{C_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] 整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
C&=&\frac {C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

4.平行平板コンデンサの電界\( \ E \ \)と電圧\( \ V \ \)の関係
極板間の距離\( \ d \ \mathrm {[m]} \ \)の平行平板コンデンサに電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)をかけると，極板間の電界\( \ E \ \mathrm {[V / m]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
E&=&\frac {V}{d} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

5.平行平板コンデンサの静電エネルギー\( \ W \ \)
平行平板コンデンサの静電エネルギー\( \ W \ \mathrm {[J]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
W &=&\frac {1}{2}CV^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，\( \ Q=CV \ \)の関係から，
\[
\begin{eqnarray}
W&=&\frac {1}{2}QV \\[ 5pt ] &=&\frac {Q^{2}}{2C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

(a)解答：(3)
図1に示すように，本コンデンサは同容量の平行平板コンデンサを\( \ 10 \ \)個並列に接続したものと考えればよい。
コンデンサ\( \ 1 \ \)個あたりの静電容量\( \ C_{1} \ \mathrm {[pF ]} \ \)は，ワンポイント解説「2.平行平板コンデンサの静電容量\( \ C \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
C_{1}&=&\frac {\varepsilon _{0}S}{d} \\[ 5pt ] &=&\frac {8.85\times 10^{-12}\times 0.5}{5\times 10^{-3}} \\[ 5pt ] &=&8.85\times 10^{-10} \ \mathrm {[F]}　→　885 \ \mathrm {[pF ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，全体の静電容量\( \ C \ \mathrm {[pF ]} \ \)は，ワンポイント解説「3.コンデンサの合成静電容量」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
C&=&10C_{1} \\[ 5pt ] &=&10\times 885 \\[ 5pt ] &=&8 \ 850 \ \mathrm {[pF ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答：(3)
コンデンサ極板間の電界強度\( \ E=1 \ 000 \ \mathrm {[kV / m]} \ \)，極板間距離\( \ d=5 \ \mathrm {[mm]} \ \)より，極板間の電位差\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)は，ワンポイント解説「4.平行平板コンデンサの電界\( \ E \ \)と電圧\( \ V \ \)の関係」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
V&=&Ed \\[ 5pt ] &=&1 \ 000\times 10^{3}\times 5\times 10^{-3} \\[ 5pt ] &=&5 \ 000 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，コンデンサに蓄えられるエネルギー\( \ W \ \mathrm {[J]} \ \)は，ワンポイント解説「5.平行平板コンデンサの静電エネルギー\( \ W \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
W&=&\frac {1}{2}CV^{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{2}\times 8 \ 850\times 10^{-12} \times 5 \ 000^{2} \\[ 5pt ] &≒&0.111　→　1.11\times 10^{-1} \ \mathrm {[J]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。