《理論》〈電子理論〉[H21:問12]磁界中及び電界中の電子の運動に関する計算問題

Contents

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

図1のように，真空中において強さが一定で一様な磁界中に，速さ $\ v \ \mathrm {[m/s]} \$ の電子が磁界の向きに対して $\ \theta \ \mathrm {[°]} \$ の角度 $\ \left( 0 \ \mathrm {[°]}＜\theta \ \mathrm {[°]}＜90 \ \mathrm {[°]}\right) \$ で突入した。この場合，電子は進行方向にも磁界の向きにも $\ \fbox {　（ア）　} \$ 方向の電磁力を常に受けて，その軌跡は， $\ \fbox {　（イ）　} \$ を描く。

次に，電界中に電子を置くと，電子は電界の向きと $\ \fbox {　（ウ）　} \$ 方向の静電力を受ける。また，図2のように，強さが一定で一様な電界中に，速さ $\ v \ \mathrm {[m/s]} \$ の電子が電界の向きに対して $\ \theta \ \mathrm {[°]} \$ の角度 $\ \left( 0 \ \mathrm {[°]}＜\theta \ \mathrm {[°]}＜90 \ \mathrm {[°]}\right) \$ で突入したとき，その軌跡は， $\ \fbox {　（エ）　} \$ を描く。

上記の記述中の空白箇所(ア)，(イ)，(ウ)及び(エ)に当てはまる語句として，正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。

$\begin{array}{ccccc} & （ア） & （イ） & （ウ） & （エ） \\ \hline (1) & 　反　対　 & 　らせん　 & 　反　対　 & 　放物線　 \\ \hline (2) & 　直　角　 & 　円　　　 & 　同　じ　 & 　円　　　 \\ \hline (3) & 　同　じ　 & 　円　　　 & 　直　角　 & 　放物線　 \\ \hline (4) & 　反　対　 & 　らせん　 & 　同　じ　 & 　円　　　 \\ \hline (5) & 　直　角　 & 　らせん　 & 　反　対　 & 　放物線　 \\ \hline \end{array}$

【ワンポイント解説】

真空中の電子の運動に関する問題です。
電界と磁界，非常に似た性質もありますが，電荷に加わる力は全く違います。違いを理解するには非常に良い問題と思いますので，必ず理解しておくようにしましょう。

1.電荷に働く力の大きさ
一様な電界 $\ E \ \mathrm {[V / m]} \$ が電荷 $\ q \ \mathrm {[C]} \$ にかかっているとき，この電荷 $\ q \ \mathrm {[C]} \$ に働く力の大きさ $\ F \ \mathrm {[N]} \$ は，
$\begin{eqnarray} F &=&qE \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$ となります。電子の場合は，電荷がマイナスなので，電界と逆方向の力が加わります。

2.フレミングの左手の法則
中指を電流の向き，人差し指を磁界の向きに合わせると，親指の方向に力が働くという法則で，頭文字を取って「電磁力」と覚えます。
磁束密度の大きさ $\ B \ \mathrm {[T]} \$ ，電子の速度 $\ v \ \mathrm {[m/s]} \$ ，電子の電荷を $\ e \ \mathrm {[C]} \$ とすると，電子にかかるローレンツ力 $\ F \ \mathrm {[N]} \$ は，
$\begin{eqnarray} F &=&evB \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$ となります。電子の場合，動く向きが電流の向きと逆になるので，中指の向きに注意するようにしましょう。

【解答】

解答：(5)
(ア)
図1の電子の速度を磁界と同方向成分 $\ v \cos \theta \$ と磁界と直角方向成分 $\ v \sin \theta \$ に分けると，電子に力が加わるのは直角成分のみであり，その向きはワンポイント解説「2.フレミングの左手の法則」の通り，手前から奥の向きとなります。

(イ)
磁界と直角方向成分 $\ v \sin \theta \$ に対しては常に動く方向と直角方向に力が加わり円運動，磁界と同方向成分 $\ v \cos \theta \$ に対しては電子に力が加わらないため一定の速度 $\ v \cos \theta \$ で動きます。したがって，全体としてはらせん運動となります。