《理論》〈電気回路〉[H22:問8]容量性リアクタンスを接続したときの力率の変化に関する計算問題

Contents

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)と誘導性リアクタンス\( \ X_{\mathrm {L}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)を直列に接続した回路の力率\( \ \left( \cos \phi \right) \ \)は，\( \ \displaystyle \frac {1}{2} \ \)であった。いま，この回路に容量性リアクタンス\( \ X_{\mathrm {C}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)を直列に接続したところ，\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ X_{\mathrm {L}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ X_{\mathrm {C}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)直列回路の力率は，\( \ \displaystyle \frac {\sqrt {3}}{2} \ \)(遅れ)になった。容量性リアクタンス\( \ X_{\mathrm {C}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の値を表す式として，正しいのは次のうちどれか。

　(1)　\( \ \displaystyle \frac {R}{\sqrt {3}} \ \)　　(2)　\( \ \displaystyle \frac {2R}{3} \ \)　　(3)　\( \ \displaystyle \frac {\sqrt {3}R}{2} \ \)　　(4)　\( \ \displaystyle \frac {2R}{\sqrt {3}} \ \)　　(5)　\( \ \sqrt {3}R \ \)

【ワンポイント解説】

抵抗，誘導性リアクタンス，容量性リアクタンスを直列に接続した回路における力率の変化に関する問題です。
図が一切与えられていないので，回路図やベクトル図を描いて解くと良いかと思います。

1.抵抗，コイル，コンデンサの電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)と電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)の関係
抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，コイル\( \ L \ \mathrm {[H]} \ \)，コンデンサ\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)があり，電源の角周波数\( \ \omega \ \mathrm {[rad / s]} \ \)及び周波数\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)が与えられているとき，それぞれのインピーダンスは，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {R}}&=&R&& \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L&=&\mathrm {j}2\pi f L \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {C}}&=&\frac {1}{\mathrm {j}\omega C}&=&\frac {1}{\mathrm {j}2\pi f C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められ，それぞれの電圧と電流の関係は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {R}}&=&R\dot I \\[ 5pt ] {\dot V}_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L \dot I \\[ 5pt ] {\dot V}_{\mathrm {C}}&=&\frac {\dot I }{\mathrm {j}\omega C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。この関係をベクトル図に表すと，図1～図3となります。

2.有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)と無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)
抵抗で消費される電力を有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)，リアクタンスで消費もしくは供給される電力を無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)と呼び，図4のようにベクトル図を描きます。さらに，有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)と無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)のベクトル和は皮相電力\( \ S \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)と呼ばれ，
\[
\begin{eqnarray}
S&=&\sqrt {P^{2}+Q^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があります。図4において，力率は\( \ \cos \theta \ \)で定義され，
\[
\begin{eqnarray}
\cos \theta &=&\frac {P}{S} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

また，線路に電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)が流れているとき，皮相電力\( \ S \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)，有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)，無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)は，インピーダンスを\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，抵抗を\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，リアクタンスを\( \ X \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
S &=&ZI^{2} \\[ 5pt ] P &=&RI^{2} \\[ 5pt ] Q &=&XI^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるため，\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ X \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)に関しても電力と同様な図5のような関係を描くことができます。

【解答】

解答：(4)
容量性リアクトル接続前後のベクトル図を図6に示す。
図6より，各インピーダンスの大きさの関係は，
\[
\begin{eqnarray}
X_{\mathrm {L}} &=&\sqrt {3}R　&　・・・・・・・・・・　①& \\[ 5pt ] X_{\mathrm {L}}-X_{\mathrm {C}} &=&\frac {R}{\sqrt {3}}　&　・・・・・・・・・・　②& \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，①式を②式に代入して整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
\sqrt {3}R-X_{\mathrm {C}} &=&\frac {R}{\sqrt {3}} \\[ 5pt ] X_{\mathrm {C}} &=&\sqrt {3}R-\frac {R}{\sqrt {3}} \\[ 5pt ] &=&\frac {3R-R}{\sqrt {3}} \\[ 5pt ] &=&\frac {2R}{\sqrt {3}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。