《理論》〈電気回路〉[H26:問11]RC回路の過渡現象に関する計算問題

Contents

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
- 2.1 【関連する「電気の神髄」記事】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

図のように，直流電圧\(E \ \mathrm {[V]}\)の電源が2個，\(R \ \mathrm {[\Omega ]}\)の抵抗が2個，静電容量\(C \ \mathrm {[F]}\)のコンデンサ，スイッチ\(S_{1}\)と\(S_{2}\)からなる回路がある。スイッチ\(S_{1}\)と\(S_{2}\)の初期状態は，共に開いているものとする。電源の内部インピーダンスは零とする。時刻\(t=t_{1} \ \mathrm {[s]}\)でスイッチ\(S_{1}\)を閉じ，その後，時定数\(CR \ \mathrm {[s]}\)に比べて十分に時間が経過した時刻\(t=t_{2} \ \mathrm {[s]}\)でスイッチ\(S_{1}\)を開き，スイッチ\(S_{2}\)を閉じる。このとき，コンデンサの端子電圧\(v \ \mathrm {[V]}\)の波形を示す図として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

ただし，コンデンサの初期電荷は零とする。

【ワンポイント解説】

過渡現象の内容を理解しているかを問う問題となっています。三種の場合は微分方程式の計算は必要ないので，解答を波形から暗記すると良いと思います。

1.\(RC\)直列回路の過渡現象
図1の\(RC\)直列回路において，スイッチ\(S\)を投入した時の過渡現象を考えます。
回路方程式は，
\[
\begin{eqnarray}
Ri +\frac {1}{C}\int i \mathrm {d}t &=&E \\[ 5pt ] R\frac {\mathrm {d}q}{\mathrm {d}t} +\frac {q}{C} &=&E \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。定常解を\(q_{\mathrm {s}}\)，過渡解を\(q_{\mathrm {t}}\)とすると，定常解は\(\displaystyle \frac {\mathrm {d}q}{\mathrm {d}t}\)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {q_{\mathrm {s}}}{C} &=&E \\[ 5pt ] q_{\mathrm {s}} &=&CE \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。過渡解は\(E=0\)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
R\frac {\mathrm {d}q_{\mathrm {t}}}{\mathrm {d}t} +\frac {q_{\mathrm {t}}}{C} &=&0 \\[ 5pt ] R\frac {\mathrm {d}q_{\mathrm {t}}}{\mathrm {d}t} &=&-\frac {q_{\mathrm {t}}}{C} \\[ 5pt ] \frac {1}{q_{\mathrm {t}}}\mathrm {d}q_{\mathrm {t}} &=&-\frac {1}{RC}\mathrm {d}t \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と整理できるので，両辺積分すると，
\[
\begin{eqnarray}
\ln q_{\mathrm {t}} &=&-\frac {1}{RC}t +C ( Cは積分定数 ) \\[ 5pt ] q_{\mathrm {t}} &=&A\mathrm {e} ^{-\frac {1}{RC}t} ( A=\mathrm {e}^{C} ) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。よって，一般解は，
\[
\begin{eqnarray}
q &=&q_{\mathrm {s}}+q_{\mathrm {t}} \\[ 5pt ] &=&CE+A\mathrm {e} ^{-\frac {1}{RC}t} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。ここで，初期状態での蓄えられる電荷は零であるから，
\[
\begin{eqnarray}
0&=&CE+A\mathrm {e} ^{-\frac {1}{RC}\times 0} \\[ 5pt ] A&=&-CE \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，
\[
\begin{eqnarray}
q &=&CE \left( 1-\mathrm {e} ^{-\frac {1}{RC}t}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。両辺微分すると，
\[
\begin{eqnarray}
i &=&\frac {E}{R} \mathrm {e} ^{-\frac {1}{RC}t} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。また，コンデンサの電圧\(v\)は，
\[
\begin{eqnarray}
v &=&\frac {q}{C} \\[ 5pt ] &=&E \left( 1-\mathrm {e} ^{-\frac {1}{RC}t}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

【関連する「電気の神髄」記事】

　　RC並列回路の過渡現象（直流回路）

【解答】

解答：(4)
初期状態からスイッチ\(S_{1}\)を閉じると，回路は図2のようになり，ワンポイント解説「1.\(RC\)直列回路の過渡現象」の通り，コンデンサの電圧\(v\)は，
\[
\begin{eqnarray}
v &=&E \left( 1-\mathrm {e} ^{-\frac {1}{RC}t}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるため，十分時間が経った状態\(t → \infty\)では，
\[
\begin{eqnarray}
v &=&E \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。