《理論》〈電気回路〉[H26:問16]平衡三相負荷の消費電力に関する計算問題

Contents

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
- 2.1 【関連する「電気の神髄」記事】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★★★★☆（やや難しい）

図1のように，線間電圧\(200 \ \mathrm {V}\)，周波数\(50 \ \mathrm {Hz}\)の対称三相交流電源に\(1 \ \Omega \)の抵抗と誘導性リアクタンス\(\displaystyle \frac {4}{3}\Omega \)のコイルとの並列回路からなる平衡三相負荷(\(\mathrm {Y}\)結線)が接続されている。また，スイッチ\(\mathrm {S}\)を介して，コンデンサ\(\mathrm {C}\) (\(\mathrm {\Delta }\)結線) を接続することができるものとする。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a)　スイッチ\(\mathrm {S}\)が開いた状態において，三相負荷の有効電力\(P\)の値\(\mathrm {[kW]}\)と無効電力\(Q\)の値\(\mathrm {[kvar]}\)の組合せとして，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

\[
\begin{array}{ccc}
& 　P　 & 　Q　 \\
\hline
(1) & 　40　 & 　30　 \\
\hline
(2) & 　40　 & 　53　 \\
\hline
(3) & 　80　 & 　60　 \\
\hline
(4) & 　120　 & 　90　 \\
\hline
(5) & 　120　 & 　160　 \\
\hline
\end{array}
\]

(b)　図2のように三相負荷のコイルの誘導性リアクタンスを\(\displaystyle \frac {2}{3}\Omega \)に置き換え，スイッチ\(\mathrm {S}\)を閉じてコンデンサ\(\mathrm {C}\)を接続する。このとき，電源からみた有効電力と無効電力が図1の場合と同じ値になったとする。コンデンサ\(\mathrm {C}\)の静電容量の値\(\mathrm {[\mu F ]}\)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\(800\)　　(2)　\(1200\)　　(3)　\(2400\)　　(4)　\(4800\)　　(5)　\(7200\)

【ワンポイント解説】

\(\mathrm {\Delta -Y}\)変換を用いる問題です。三種では不平衡負荷の\(\mathrm {\Delta -Y}\)変換が出題されることは少ないですが，非常によく出題される公式なので，確実に覚えておくようにしておきましょう。

1.リアクトルとコンデンサのリアクタンスとサセプタンス
インダクタンスが\(L \ \mathrm {[H]}\)のリアクトルと静電容量\(C \ \mathrm {[F]}\)のコンデンサの各リアクタンス\(X_{\mathrm {L}} \ [\Omega ]\)と\(X_{\mathrm {C}} \ [\Omega ]\)及び各サセプタンス\(b_{\mathrm {L}} \ \mathrm {[S]}\)と\(b_{\mathrm {C}} \ \mathrm {[S]}\)の大きさは，角周波数を\(\omega \ \mathrm {[rad /s]}\)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
X_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L ，b_{\mathrm {L}}=\frac {1}{\mathrm {j}\omega L } \\[ 5pt ] X_{\mathrm {C}}&=&\frac {1}{\mathrm {j}\omega C } ，b_{\mathrm {C}}=\mathrm {j}\omega C \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.\(\Delta -\mathrm {Y}\)変換と\(\mathrm {Y}-\Delta \)変換
①\(\Delta -\mathrm {Y}\)変換
図3において，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {a}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {ab}}{\dot Z}_{\mathrm {ca}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {b}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {bc}}{\dot Z}_{\mathrm {ab}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {c}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {ca}}{\dot Z}_{\mathrm {bc}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] ②\(\mathrm {Y}-\Delta \)変換
図3において，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {ab}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {bc}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {ca}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {b}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] 平衡三相回路においては，
\[
{\dot Z}_{\mathrm {ab}}={\dot Z}_{\mathrm {bc}}={\dot Z}_{\mathrm {ca}}=3{\dot Z}_{\mathrm {a}}=3{\dot Z}_{\mathrm {b}}=3{\dot Z}_{\mathrm {c}}
\] となります。

【関連する「電気の神髄」記事】

　　Y⇔Δ回路のインピーダンス変換式

【解答】

(a)解答：(1)
図1の一相分の等価回路は図4のようになる。図4より三相分の有効電力\(P\)は，
\[
\begin{eqnarray}
P &=&3\cdot \frac {V^{2}}{R} \\[ 5pt ] &=&3\cdot \frac {\displaystyle \left( \frac {200}{\sqrt {3}}\right) ^{2}}{1} \\[ 5pt ] &=&40000 \ \mathrm {[W]} 　→　40 \ \mathrm {[kW]}\\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。また，同様に三相分の無効電力\(Q\)は，
\[
\begin{eqnarray}
Q &=&3\cdot \frac {V^{2}}{X} \\[ 5pt ] &=&3\cdot \frac {\displaystyle \left( \frac {200}{\sqrt {3}}\right) ^{2}}{\displaystyle \frac {4}{3}} \\[ 5pt ] &=&30000 \ \mathrm {[var]} 　→　30 \ \mathrm {[kvar]}\\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答：(1)
図2において，ワンポイント解説「2.\(\Delta -\mathrm {Y}\)変換と\(\mathrm {Y}-\Delta \)変換」の通り，コンデンサ\(\mathrm {C}\)を\(\Delta -\mathrm {Y}\)変換すると，静電容量は\(3\mathrm {C}\)となるから，一相分の等価回路は図5の通りとなる。
このときの合成インピーダンス(アドミタンス)の大きさが等しくなる。
したがって，その合成アドミタンスは，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {3}{4} &=& \frac {3}{2}-3\times 2\pi f \mathrm {C} \\[ 5pt ] \mathrm {C}&=&\frac {\displaystyle \frac {3}{4}}{3\times 2\pi \times 50} \\[ 5pt ] &≒&0.000796 \ \mathrm {[F]} 　→　800 \ \mathrm {[\mu F]}\\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。