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【問題】
【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）
図のように，抵抗\( \ 6 \ \mathrm {\Omega } \ \)と誘導性リアクタンス\( \ 8 \ \mathrm {\Omega } \ \)を\( \ \mathrm {Y} \ \)結線し，抵抗\( \ r \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)を\( \ \Delta \ \)結線した平衡三相負荷に，\( \ 200 \ \mathrm {V} \ \)の対称三相交流電源を接続した回路がある。抵抗\( \ 6 \ \mathrm {\Omega } \ \)と誘導性リアクタンス\( \ 8 \ \mathrm {\Omega } \ \)に流れる電流の大きさを\( \ I_{1} \ \mathrm {[A]} \ \)，抵抗\( \ r \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)に流れる電流の大きさを\( \ I_{2} \ \mathrm {[A]} \ \)とする。電流\( \ I_{1} \ \mathrm {[A]} \ \)と\( \ I_{2} \ \mathrm {[A]} \ \)の大きさが等しいとき，次の(a)及び(b)の問に答えよ。
(a) 抵抗\( \ r \ \)の値\( \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) \( \ 6.0 \ \) (2) \( \ 10.0 \ \) (3) \( \ 11.5 \ \) (4) \( \ 17.3 \ \) (5) \( \ 19.2 \ \)
(b) 図中の回路が消費する電力の値\( \ \mathrm {[kW]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) \( \ 2.4 \ \) (2) \( \ 3.1 \ \) (3) \( \ 4.0 \ \) (4) \( \ 9.3 \ \) (5) \( \ 10.9 \ \)
【ワンポイント解説】
三相交流回路の計算問題です。
\( \ \Delta -\mathrm {Y} \ \)変換を用いて一相分の等価回路として考えても良いですが，本問の場合は\( \ I_{1} \ \mathrm {[A]} \ \)と\( \ I_{2} \ \mathrm {[A]} \ \)の大きさが等しいとなっているので，まずは\( \ I_{1} \ \mathrm {[A]} \ \)を求めてしまった方が早く解けるかなと思います。
ただし，制限時間内で正答が導き出せれば全く問題はないので，得意な方法を選択されて大丈夫です。
本問は平成20年問15からの再出題となります。
1.抵抗，コイル，コンデンサの電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)と電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)の関係
抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，コイル\( \ L \ \mathrm {[H]} \ \)，コンデンサ\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)があり，電源の角周波数\( \ \omega \ \mathrm {[rad / s]} \ \)及び周波数\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)が与えられているとき，それぞれのインピーダンスは，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {R}}&=&R&& \\[ 5pt ]
{\dot Z}_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L&=&\mathrm {j}2\pi f L \\[ 5pt ]
{\dot Z}_{\mathrm {C}}&=&\frac {1}{\mathrm {j}\omega C}&=&\frac {1}{\mathrm {j}2\pi f C} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で求められ，それぞれの電圧と電流の関係は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {R}}&=&R\dot I \\[ 5pt ]
{\dot V}_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L \dot I \\[ 5pt ]
{\dot V}_{\mathrm {C}}&=&\frac {\dot I }{\mathrm {j}\omega C} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。この関係をベクトル図に表すと，図1～図3となります。
2.有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)と無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)
抵抗で消費される電力を有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)，リアクタンスで消費もしくは供給される電力を無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)と呼び，図4のようにベクトル図を描きます。さらに，有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)と無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)のベクトル和は皮相電力\( \ S \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)と呼ばれ，
\[
\begin{eqnarray}
S&=&\sqrt {P^{2}+Q^{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係があります。図4において，力率は\( \ \cos \theta \ \)で定義され，
\[
\begin{eqnarray}
\cos \theta &=&\frac {P}{S} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
また，線路に電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)が流れているとき，皮相電力\( \ S \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)，有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)，無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)は，インピーダンスを\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，抵抗を\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，リアクタンスを\( \ X \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
S &=&ZI^{2} \\[ 5pt ]
P &=&RI^{2} \\[ 5pt ]
Q &=&XI^{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるため，\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ X \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)に関しても電力と同様な図5のような関係を描くことができます。
3.\( \ \mathrm {Y} \ \)結線における相電圧と線間電圧の関係
図6のような三相対称電源がある時，線間電圧と相電圧の関係は図7のベクトル図のようになり，線間電圧の大きさ\( \ V \ \)は相電圧の大きさ\( \ E \ \)と比較すると，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {ab}} &=&\sqrt {3}E_{\mathrm {a}} \\[ 5pt ]
V_{\mathrm {bc}} &=&\sqrt {3}E_{\mathrm {b}} \\[ 5pt ]
V_{\mathrm {ca}} &=&\sqrt {3}E_{\mathrm {c}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
かつ\( \ \displaystyle \frac {\pi }{6} \)（30°)進みであることが分かります。
4.\( \ \Delta \ \)結線における相電流と線電流の関係
図8のような三相対称電源がある時，線電流と相電流の関係は図9のベクトル図のようになり，線電流の大きさは相電流の大きさと比較すると，
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {a}} &=&\sqrt {3}I_{\mathrm {ab}} \\[ 5pt ]
I_{\mathrm {b}} &=&\sqrt {3}I_{\mathrm {bc}} \\[ 5pt ]
I_{\mathrm {c}} &=&\sqrt {3}I_{\mathrm {ca}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
かつ\( \ \displaystyle \frac {\pi }{6} \)（30°)遅れであることが分かります。
【解答】
(a)解答：(4)
抵抗\( \ 6 \ \mathrm {\Omega } \ \)と誘導性リアクタンス\( \ 8 \ \mathrm {\Omega } \ \)の合成インピーダンス\( \ Z_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の大きさは，ワンポイント解説「1.抵抗，コイル，コンデンサの電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)と電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)の関係」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
Z_{1} &=&\sqrt {6^{2}+8^{2}} \\[ 5pt ]
&=&10 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
である。\( \ Z_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)に加わる電圧\( \ V_{1} \ \mathrm {[V]} \ \)は，ワンポイント解説「3.\( \ \mathrm {Y} \ \)結線における相電圧と線間電圧の関係」の通り\( \ \displaystyle V_{1}=\frac {200}{\sqrt {3}} \ \mathrm {[V]} \ \)であるから，電流\( \ I_{1} \ \mathrm {[A]} \ \)の大きさは，
\[
\begin{eqnarray}
I_{1} &=&\frac {V_{1}}{Z_{1}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle \frac {200}{\sqrt {3}}}{10} \\[ 5pt ]
&≒&11.55 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。題意より\( \ I_{1}=I_{2} \ \)であり，抵抗\( \ r \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)に加わる電圧は\( \ 200 \ \mathrm {V} \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
r &=&\frac {200}{I_{2}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {200}{11.55} \\[ 5pt ]
&≒&17.32 → 17.3 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(b)解答：(4)
図中の回路が消費する電力\( \ P \ \mathrm {[kW]} \ \)は\( \ 6 \ \mathrm {\Omega } \ \)の抵抗と\( \ r=17.32 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の抵抗が消費する電力の合計である。したがって，
\[
\begin{eqnarray}
P &=&6\times I_{1}^{2}\times 3+r\times I_{2}^{2}\times 3 \\[ 5pt ]
&=&6\times I_{1}^{2}\times 3+r\times I_{1}^{2}\times 3 \\[ 5pt ]
&=&\left( 6+r\right) \times I_{1}^{2}\times 3 \\[ 5pt ]
&=&\left( 6+17.32\right) \times 11.55^{2}\times 3 \\[ 5pt ]
&≒&9330 \ \mathrm {[W]} → 9.3 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん
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