【問題】
【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）
図のように，内部抵抗\( \ r=0.1 \ \mathrm {\Omega } \ \)，起電力\( \ E=9 \ \mathrm {V} \ \)の電池\( \ 4 \ \)個を並列に接続した電源に抵抗\( \ R=0.5 \ \mathrm {\Omega } \ \)の負荷を接続した回路がある。この回路において，抵抗\( \ R=0.5 \ \mathrm {\Omega } \ \)で消費される電力の値\( \ \mathrm {[W]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) \( \ 820 \ \) (2) \( \ 4 \ 050 \ \) (3) \( \ 253 \ \) (4) \( \ 50 \ \) (5) \( \ 147 \ \)
【ワンポイント解説】
電源と抵抗が直並列された直流回路の消費電力を求める問題です。
様々な解法が想定されますが，解答が合っていればどのような解き方でも問題ありません。
ミルマンの定理は大変有用な定理ですので，ぜひ覚えておくようにして下さい。
本問は平成28年問5からの再出題です。
1.ミルマンの定理
図1のような，電源\( \ E_{1} \ \mathrm {[V]} \ \)，\( \ E_{2} \ \mathrm {[V]} \ \)，\( \ \cdots \ \)，\( \ E_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[V]} \ \)と抵抗\( \ R_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ R_{2} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ \cdots \ \)，\( \ R_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)が直並列された回路における全体の電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
V&=&\frac {\displaystyle \frac {E_{1}}{R_{1}}+\frac {E_{2}}{R_{2}}+\frac {E_{3}}{R_{3}}+\cdots +\frac {E_{\mathrm {n}}}{R_{\mathrm {n}}}}{\displaystyle \frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{2}}+\frac {1}{R_{3}}+\cdots +\frac {1}{R_{\mathrm {n}}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で求められます。電源が繋がっていない場合は\( \ E=0 \ \mathrm {[V]} \ \)，電源が逆向きの場合は\( \ -E \ \mathrm {[V]} \ \)とすればミルマンの定理はそのまま適用できます。
2.抵抗での消費電力
抵抗値\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の抵抗に電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)が流れているときの消費電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P &=&RI^{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，オームの法則\( \ V=RI \ \)の関係から，
\[
\begin{eqnarray}
P &=&VI \\[ 5pt ]
&=&\frac {V^{2}}{R} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で求められます。
【解答】
解答：(5)
\( \ R=0.5 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の抵抗に加わる電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)は，ワンポイント解説「1.ミルマンの定理」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
V&=&\frac {\displaystyle \frac {E}{r}+\frac {E}{r}+\frac {E}{r}+\frac {E}{r}+\frac {0}{R} }{\displaystyle \frac {1}{r}+\frac {1}{r}+\frac {1}{r}+\frac {1}{r}+\frac {1}{R}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle \frac {9}{0.1}+\frac {9}{0.1}+\frac {9}{0.1}+\frac {9}{0.1}+\frac {0}{0.5} }{\displaystyle \frac {1}{0.1}+\frac {1}{0.1}+\frac {1}{0.1}+\frac {1}{0.1}+\frac {1}{0.5} } \\[ 5pt ]
&=&\frac {360}{42} \\[ 5pt ]
&≒&8.571 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，\( \ R=0.5 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)で消費される電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)は，ワンポイント解説「2.抵抗での消費電力」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
P &=&\frac {V^{2}}{R} \\[ 5pt ]
&=&\frac {8.571^{2}}{0.5} \\[ 5pt ]
&≒&147 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
