《理論》〈電磁気〉[R4下:問4]同一方向に電流を流した３本の平行直線導体に加わる力に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

図のように，無限に長い\( \ 3 \ \)本の直線状導体が真空中に\( \ 10 \ \mathrm {cm} \ \)の間隔で正三角形の頂点の位置に置かれている。\( \ 3 \ \)本の導体にそれぞれ\( \ 7 \ \mathrm {A} \ \)の直流電流を同一方向に流したとき，各導体\( \ 1 \ \mathrm {m} \ \)当たりに働く力の大きさ\( \ F_{0} \ \)の値\( \ \mathrm {[N/m]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

ただし，無限に長い\( \ 2 \ \)本の直線状導体を\( \ r \ \mathrm {[m]} \ \)離して平行に置き，\( \ 2 \ \)本の導体にそれぞれ\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)の直流電流を同一方向に流した場合，各導体\( \ 1 \ \mathrm {m} \ \)当たりに働く力の大きさ\( \ F \ \)の値\( \ \mathrm {[N/m]} \ \)は，次式で与えられるものとする。
\[
\begin{eqnarray}
F&=&\frac {2I^{2}}{r}\times 10^{-7} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

　(1)　\( \ 0 \ \)　　(2)　\( \ 9.80\times 10^{-5} \ \)　　(3)　\( \ 1.70\times 10^{-4} \ \)　　(4)　\( \ 1.96\times 10^{-4} \ \)
　(5)　\( \ 2.94\times 10^{-4} \ \)　　

【ワンポイント解説】

平行直線状導体間に加わる力に関する問題です。
\( \ 2 \ \)本の導体間に加わる力が出題されやすいですが，電験の受験生のレベルを考えややレベルを上げたと思われます。

1.平行直線状導体間に働く力の大きさ
図1のような同方向に電流が流れている場合を考えます。電流\( \ I_{\mathrm {b}} \ \mathrm {[A]} \ \)により発生する電流\( \ I_{\mathrm {a}} \ \mathrm {[A]} \ \)が流れる導体部分の磁界の大きさ\( \ H_{\mathrm {b}} \ \mathrm {[A / m]} \ \)は，アンペールの法則より，
\[
\begin{eqnarray}
H_{\mathrm {b}}&=&\frac {I_{\mathrm {b}}}{2\pi r} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，空間の透磁率が\( \ \mu \ \mathrm {[H / m]} \ \)であるとすると，磁束密度\( \ B_{\mathrm {b}} \ \mathrm {[T]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
B_{\mathrm {b}}&=&\mu H_{\mathrm {b}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\mu I_{\mathrm {b}}}{2\pi r} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。フレミングの左手の法則により，\( \ I_{\mathrm {a}} \ \mathrm {[A]} \ \)の流れる導体にかかる力の大きさは引力となり，その\( \ 1 \ \mathrm {[m]} \ \)あたりの大きさ\( \ F \ \mathrm {[N/m]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
F&=&B_{\mathrm {b}} I_{\mathrm {a}}\times 1 \\[ 5pt ] &=&\frac {\mu I_{\mathrm {a}}I_{\mathrm {b}}}{2\pi r} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められます。同様に\( \ I_{\mathrm {b}} \ \)側や図2のような反対向きの場合も求めることができます。

【解答】

解答：(3)
ワンポイント解説「1.平行直線状導体間に働く力の大きさ」の通り，直流電流を同一方向に流したとき各導体間に加わる力は引力であり，与式よりその大きさ\( \ F \ \mathrm {[N/m]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
F&=&\frac {2I^{2}}{r}\times 10^{-7} \\[ 5pt ] &=&\frac {2\times 7^{2}}{0.1}\times 10^{-7} \\[ 5pt ] &=&9.80\times 10^{-5} \ \mathrm {[N/m]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。各導体間に\( \ F \ \mathrm {[N/m]} \ \)がそれぞれ加わるので，正三角形の関係よりそれぞれの導体に働く力の大きさ\( \ F_{0} \ \mathrm {[N/m]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
F_{0}&=&\sqrt {3}F \\[ 5pt ] &=&\sqrt {3}\times 9.80\times 10^{-5} \\[ 5pt ] &≒&1.70\times 10^{-4} \ \mathrm {[N/m]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。