《理論》〈電気回路〉[H25:問4]RC回路の過渡現象に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★★(難しい)

次の文章は,\( \ RC \ \)回路の過渡現象に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選びなさい。

図に示す二つの直流電圧源\( \ E_{1} \ \)と\( \ E_{2} \ \)に接続された\( \ RC \ \)回路を考える。ただし,\( \ E_{1}>E_{2} \ \)かつ静電容量\( \ C \ \)のコンデンサの初期電荷は零とする。\( \ t=0 \ \mathrm {[s]} \ \)でスイッチ\( \ S_{1} \ \)及び\( \ S_{2} \ \)を閉じた。コンデンサの電流\( \ i_{\mathrm {C}}\left( t \right) =C\displaystyle \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}v_{\mathrm {C}}\left( t \right) \ \)に直目すると,キルヒホッフの電流則により
\[
\begin{eqnarray}
C\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}v_{\mathrm {C}}\left( t \right) &=&\frac {E_{1}-v_{\mathrm {C}}\left( t \right) }{R_{1}}+\frac {E_{2}-v_{\mathrm {C}}\left( t \right) }{R_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。

コンデンサの初期電荷は零の仮定により,\( \ v_{\mathrm {C}}\left( t \right) \ \)の初期値は\( \ 0 \ \mathrm {[V]} \ \)である。\( \ t→+\infty \ \)で\( \ v_{\mathrm {C}}\left( t \right) →V_{\mathrm {C}} \ \)とおくと,\( \ v_{\mathrm {C}}\left( t \right) = V_{\mathrm {C}}\left( 1-e^{-\fbox {  (1)  }\times t} \right) \ \)となる。

抵抗\( \ R_{1} \ \)と\( \ R_{2} \ \)を流れる電流\( \ i_{1}\left( t \right) \ \)と\( \ i_{2}\left( t \right) \ \)の表式は,\( \ t→+\infty \ \)で\( \ \begin{bmatrix} i_{1}\left( t \right) \\ i_{2}\left( t \right) \end{bmatrix}→\begin{bmatrix} I_{1} \\ I_{2} \end{bmatrix} \ \)とおくと,\( \ \begin{bmatrix} i_{1}\left( t \right) \\ i_{2}\left( t \right) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} i_{1}\left( 0 \right) \\ i_{2}\left( 0 \right) \end{bmatrix}e^{-\fbox {  (1)  }\times t}+\begin{bmatrix} I_{1} \\ I_{2} \end{bmatrix}\left( 1-e^{-\fbox {  (1)  }\times t} \right) \ \)となる。

このとき,\( \ i_{1}\left( 0 \right) +i_{2}\left( 0 \right) =\fbox {  (2)  } \ \),\( \ I_{1}=-I_{2}=\fbox {  (3)  } \ \)である。

\( \ E_{1}>E_{2} \ \)の仮定により,ある時刻\( \ t_{0} \ \)( \( \ t_{0}>0 \ \) )を境にして,\( \ 0<t<t_{0} \ \)では,\( \ i_{\mathrm {C}}\left( t \right) >i_{1}\left( t \right) \ \)であったのが,\( \ t_{0}<t \ \)では,\( \ i_{\mathrm {C}}\left( t \right) <i_{1}\left( t \right) \ \)に変化する。その変化の瞬間の時刻\( \ t_{0} \ \)では\( \ i_{\mathrm {C}}\left( t_{0} \right) =\fbox {  (4)  } \ \)である。また,時刻\( \ t_{0} \ \)から\( \ t→+\infty \ \)までのコンデンサの電荷の増加量は\( \ \fbox {  (5)  } \ \)となる。

〔問4の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&(イ)& \frac {E_{1}-E_{2}}{R_{1}+R_{2}}   &(ロ)& \frac {E_{1}}{R_{1}}+\frac {E_{2}}{R_{2}}   &(ハ)& C\left( \frac {E_{1}-E_{2}}{2}\right) \frac {R_{2}}{R_{1}} \\[ 5pt ] &(ニ)& \frac {E_{1}}{R_{1}+R_{2}}   &(ホ)& \frac {CR_{2}\left( E_{1}-E_{2}\right) }{R_{1}+R_{2}}   &(ヘ)& \frac {E_{1}}{R_{2}} \\[ 5pt ] &(ト)& \frac {E_{1}}{R_{1}}  &(チ)& \frac {1}{C}\left( \frac {1}{R_{1}+R_{2}}\right)     &(リ)& C\left( \frac {E_{1}+E_{2}}{2}\right) \frac {R_{1}}{R_{2}} \\[ 5pt ] &(ヌ)& -\frac {E_{2}}{R_{2}}   &(ル)& -\frac {E_{1}}{R_{1}+R_{2}}   &(ヲ)& \frac {E_{1}-E_{2}}{R_{1}} \\[ 5pt ] &(ワ)& -\frac {E_{2}}{R_{1}}   &(カ)& \frac {1}{C}\left( \frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\right)    &(ヨ)& \frac {1}{C}\left( \frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{2}}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

過渡現象に関する問題においてもかなり難易度が高く,計算量も多いので,そのまま電験一種に出題されても良いのではと思う問題です。途中の分数の計算を丁寧に行い,確実に得点できるようにしましょう。

1.過渡現象における定常解と過渡解
ⅰ.定常解を\( \ i_{\mathrm {s}} \ \),過渡解を\( \ i_{\mathrm {t}} \ \)とすると,電流値\( \ i \ \)は\( \ i=i_{\mathrm {s}}+i_{\mathrm {t}} \ \)となります。
ⅱ.定常解は電流の時間変化のない状態すなわち\( \ \displaystyle \frac {di_{\mathrm {s}}}{dt}=0 \ \)とした時の解です。
ⅲ.過渡解はスイッチを入れた直後の解です。

2.過渡現象における\(RLC\)それぞれの電圧
線路に流れる電流を\( \ i \ \)とし,抵抗\( \ R \ \)の電圧\( \ V_{\mathrm{R}} \ \),リアクトル\( \ L \ \)の電圧\( \ V_{\mathrm{L}} \ \),リアクトル\( \ C \ \)の電圧\( \ V_{\mathrm{C}} \ \)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm{R}} &=& Ri \\[ 5pt ] V_{\mathrm{L}} &=& L\frac {di}{dt} \\[ 5pt ] V_{\mathrm{C}} &=& \frac {1}{C}\int i dt \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

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  RC並列回路の過渡現象(直流回路)

【解答】

(1)解答:ヨ
題意より,回路方程式は,
\[
\begin{eqnarray}
C\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}v_{\mathrm {C}}\left( t \right) &=&\frac {E_{1}-v_{\mathrm {C}}\left( t \right) }{R_{1}}+\frac {E_{2}-v_{\mathrm {C}}\left( t \right) }{R_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] すなわち,
\[
\begin{eqnarray}
C\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}v_{\mathrm {C}}\left( t \right) +\left( \frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{2}}\right) v_{\mathrm {C}}\left( t \right) &=&\frac {E_{1}}{R_{1}}+\frac {E_{2}}{R_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で与えられるので,定常解\( \ v_{\mathrm {Cs}}=V_{\mathrm {C}} \ \)は,\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}v_{\mathrm {C}}\left( t \right) =0 \ \)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
\left( \frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{2}}\right) v_{\mathrm {Cs}}&=&\frac {E_{1}}{R_{1}}+\frac {E_{2}}{R_{2}} \\[ 5pt ] v_{\mathrm {Cs}}&=&\frac {\displaystyle \frac {E_{1}}{R_{1}}+\frac {E_{2}}{R_{2}}}{\displaystyle \frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{2}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {R_{2}E_{1}+R_{1}E_{2}}{R_{1}+R_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。また,過渡解を\( \ v_{\mathrm {Ct}} \ \)とおくと,
\[
\begin{eqnarray}
C\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}v_{\mathrm {Ct}}+\left( \frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{2}}\right) v_{\mathrm {Ct}}&=&0 \\[ 5pt ] \frac {1}{v_{\mathrm {Ct}}}\mathrm {d}v_{\mathrm {Ct}}&=&-\frac {1}{C}\left( \frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{2}}\right) \mathrm {d}t \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と変数分離できるので,両辺積分すると,
\[
\begin{eqnarray}
\ln v_{\mathrm {Ct}}&=&-\frac {1}{C}\left( \frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{2}}\right) t +C^{\prime } \\[ 5pt ] v_{\mathrm {Ct}}&=&Ae^{-\frac {1}{C}\left( \frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{2}}\right) t} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求めることができる。よって,一般解\( \ v_{\mathrm {C}}\left( t \right) \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
v_{\mathrm {C}}\left( t \right)&=&v_{\mathrm {Cs}}+v_{\mathrm {Ct}} \\[ 5pt ] &=&\frac {R_{2}E_{1}+R_{1}E_{2}}{R_{1}+R_{2}}+Ae^{-\frac {1}{C}\left( \frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{2}}\right) t} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。コンデンサの初期電荷が零であるから,\( \ v_{\mathrm {C}}\left( 0 \right) =0 \ \)となるため,
\[
\begin{eqnarray}
0&=&\frac {R_{2}E_{1}+R_{1}E_{2}}{R_{1}+R_{2}}+Ae^{-\frac {1}{C}\left( \frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{2}}\right) \times 0} \\[ 5pt ] 0&=&\frac {R_{2}E_{1}+R_{1}E_{2}}{R_{1}+R_{2}}+A \\[ 5pt ] A&=&-\frac {R_{2}E_{1}+R_{1}E_{2}}{R_{1}+R_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,
\[
\begin{eqnarray}
v_{\mathrm {C}}\left( t \right)&=&v_{\mathrm {Cs}}+v_{\mathrm {Ct}} \\[ 5pt ] &=&\frac {R_{2}E_{1}+R_{1}E_{2}}{R_{1}+R_{2}}\left( 1-e^{-\frac {1}{C}\left( \frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{2}}\right) t}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答:ロ
(1)より,コンデンサに流れる電流\( \ i_{\mathrm {C}}\left( t \right) \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
i_{\mathrm {C}}\left( t \right) &=&C\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}v_{\mathrm {C}}\left( t \right) \\[ 5pt ] &=&\frac {E_{1}-v_{\mathrm {C}}\left( t \right) }{R_{1}}+\frac {E_{2}-v_{\mathrm {C}}\left( t \right) }{R_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから,\( \ v_{\mathrm {C}}\left( 0 \right) =0\ \)を代入すると,
\[
\begin{eqnarray}
i_{\mathrm {C}}\left( 0 \right) &=&i_{1}\left( 0 \right) +i_{2}\left( 0 \right) \\[ 5pt ] &=&\frac {E_{1}}{R_{1}}+\frac {E_{2}}{R_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答:イ
(2)と同様に,\( \ \displaystyle v_{\mathrm {Cs}}=V_{\mathrm {C}}=\frac {R_{2}E_{1}+R_{1}E_{2}}{R_{1}+R_{2}} \ \)を代入すると,
\[
\begin{eqnarray}
I_{1}&=&\frac {E_{1}-V_{\mathrm {C}}}{R_{1}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\displaystyle E_{1}-\frac {R_{2}E_{1}+R_{1}E_{2}}{R_{1}+R_{2}}}{R_{1}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\left( R_{1}+R_{2}\right) E_{1}-\left( R_{2}E_{1}+R_{1}E_{2}\right) }{R_{1}\left( R_{1}+R_{2}\right) } \\[ 5pt ] &=&\frac {R_{1}\left( E_{1}-E_{2}\right) }{R_{1}\left( R_{1}+R_{2}\right) } \\[ 5pt ] &=&\frac {E_{1}-E_{2}}{R_{1}+R_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] \[
\begin{eqnarray}
I_{2}&=&\frac {E_{2}-V_{\mathrm {C}}}{R_{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\displaystyle E_{2}-\frac {R_{2}E_{1}+R_{1}E_{2}}{R_{1}+R_{2}}}{R_{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\left( R_{1}+R_{2}\right) E_{2}-\left( R_{2}E_{1}+R_{1}E_{2}\right) }{R_{2}\left( R_{1}+R_{2}\right) } \\[ 5pt ] &=&\frac {R_{2}\left( E_{2}-E_{1}\right) }{R_{2}\left( R_{1}+R_{2}\right) } \\[ 5pt ] &=&\frac {E_{2}-E_{1}}{R_{1}+R_{2}} \\[ 5pt ] &=&-I_{1} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答:ヲ
題意より,時刻\( \ t_{0} \ \)は,\( \ i_{2}\left( t_{0} \right) =0\ \)となる時刻であるため,\( \ R_{2} \ \)での電圧降下がなく,\( \ v_{\mathrm {C}}\left( t_{0} \right) = E_{2} \ \)となる。したがって,
\[
\begin{eqnarray}
i_{\mathrm {C}}\left( t_{0} \right)&=&i_{1}\left( t_{0} \right) \\[ 5pt ] &=&\frac {E_{1}-E_{2}}{R_{1}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答:ホ
\( \ v_{\mathrm {C}}\left( t_{0} \right) = E_{2} \ \)及び\(\displaystyle \ v_{\mathrm {C}}\left( \infty \right) = \displaystyle V_{\mathrm {C}}=\frac {R_{2}E_{1}+R_{1}E_{2}}{R_{1}+R_{2}} \ \)より,時刻\( \ t_{0} \ \)から\( \ t→+\infty \ \)までのコンデンサの電荷の増加量\( \ \Delta Q \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\Delta Q &=&C\left( \frac {R_{2}E_{1}+R_{1}E_{2}}{R_{1}+R_{2}}-E_{2}\right) \\[ 5pt ] &=&C\left( \frac {R_{2}E_{1}+R_{1}E_{2}-\left( R_{1}+R_{2}\right) E_{2}}{R_{1}+R_{2}}\right) \\[ 5pt ] &=&\frac {CR_{2}\left( E_{1}-E_{2}\right) }{R_{1}+R_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。



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